Wariancja rocznego zwrotu na podstawie wariancji miesięcznego zwrotu

Próbuję zrozumieć całą wariancję / błąd standardowy w szeregu czasowym zwrotów finansowych i myślę, że utknąłem. Mam szereg miesięcznych danych o zwrocie zapasów (nazwijmy to ), które mają oczekiwaną wartość 1,00795 i wariancję 0,000228 (standardowe odchylenie to 0,01512). Próbuję obliczyć najgorszy przypadek rocznego zwrotu (powiedzmy, że oczekiwana wartość minus dwukrotność błędu standardowego). Który sposób jest najlepszy? . Oblicz go dla jednego miesiąca ( μ X - 2 ⋅ σ X = 0,977 ) i pomnóż go sam 12 razy (= 0,7630 ). B . Zakładając, że miesiące są niezależne, zdefiniuj Y = $X$

$\mu_X-2\cdot \sigma_X=0.977$

12 razy, znajdź oczekiwaną wartość E [ Y ] = ( E [ X ] ) 12 ) i wariancję var [ Y ] = ( var [ X ] + ( E [ X ] ) 2 ) 12 - ( ( E [ X ] 2 ) $Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$E[Y]=(E[X])^{12}$$\operatorname{var}[Y]=(\operatorname{var}[X]+(E[X])^2)^{12} - ((E[X]^2)^{12}$. Standardowe dev w tym przypadku wynosi 0,0572, a oczekiwana wartość minus dwukrotność standardowej. dev wynosi 0,9853 .

C . Pomnóż miesięczny standard. dev z aby uzyskać roczny. użyj go, aby znaleźć najgorszy przypadek wartości rocznej (μ-2⋅σ). Wychodzi jako0,9949. Który jest prawidłowy? Jaki jest właściwy sposób obliczenia oczekiwanej wartości rocznej minus dwukrotność standardowej. dev, jeśli znasz te właściwości tylko dla danych miesięcznych? (Ogólnie - jeżeliY=X⋅X⋅...⋅X12 razy iμX,σXsą znane, co jestμY-2⋅ĎY?)$\sqrt{12}$$\mu - 2\cdot \sigma$

$Y=X\cdot X\cdot ...\cdot X$$\mu_X$$\sigma_X$$\mu_Y-2\cdot \sigma_Y$

$\Delta P/P = (P_{t+1}-P_t)/P_t$$P$$250$$\sqrt{250}$

$\log(P_{t+1}/P_t)$

$\mu - 2\sigma$$\Phi(-2) \simeq 0.023)$. Jeśli zwroty dziennika są normalnie dystrybuowane, to mówimy, że zwroty są rozkładane logarytmicznie - jest to jedno z założeń przyjętych przy znanej formule wyceny opcji Black Scholesa.

$\log(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \ldots$$x$$x^2$$x^3$$n$$\sqrt{n}$

Powinieneś być w stanie znaleźć dalsze informacje w Internecie. Np. Próbowałem wyszukać „log return”, aby odświeżyć pamięć, a pierwsze trafienie wydawało się całkiem dobre.

$n$$\sigma$$\sqrt{n}\sigma$$\mu_X$$\sigma_X$$n$$n$$\sqrt{n}$

Subtelna, ale ważna kwestia, jak zauważył w komentarzu @ whuber, polega na tym, że reguła (ii) wymaga korelacji, co w przypadku szeregów czasowych oznacza brak korelacji szeregowej (zwykle prawda, ale warta sprawdzenia). Wymóg niezależności dotyczy zarówno zwrotu proporcjonalnego, jak i logarytmicznego.

(Nie widziałem wcześniej przypadku B , iloczynu zmiennych losowych. Nie sądzę, aby takie podejście było powszechnie stosowane. Nie przyjrzałem się szczegółowo twoim obliczeniom, ale twoje liczby wyglądają dobrze, a wzór może można znaleźć na wikipedii . moim zdaniem takie podejście wydaje się o wiele bardziej skomplikowane niż jednej zbliżenia zaangażowanych w użyciu proporcjonalnego zwrotu lub teoretycznie odpowiednie podejście z użyciem zwrotów dziennika. I, w porównaniu z użyciem zwrotów dziennika, co można powiedzieć o rozkładzie dnia Y? Jak na przykład przypisać prawdopodobieństwa do najgorszego zwrotu?)