Znaczenie predyktorów w regresji wielokrotnej: częściowe a współczynniki znormalizowane

21

Zastanawiam się, jaki jest dokładny związek między częściowym a współczynnikami w modelu liniowym i czy powinienem użyć tylko jednego, czy obu, aby zilustrować znaczenie i wpływ czynników. $R^2$

O ile mi wiadomo, wraz z summaryotrzymaniem oszacowań współczynników i anovasumą kwadratów dla każdego czynnika - proporcja sumy kwadratów jednego czynnika podzielona przez sumę kwadratów plus reszty jest częściowa (znajduje się następujący kod ). $R^2$ R

library(car)
mod<-lm(education~income+young+urban,data=Anscombe)
    summary(mod)

Call:
lm(formula = education ~ income + young + urban, data = Anscombe)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-60.240 -15.738  -1.156  15.883  51.380 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -2.868e+02  6.492e+01  -4.418 5.82e-05 ***
income       8.065e-02  9.299e-03   8.674 2.56e-11 ***
young        8.173e-01  1.598e-01   5.115 5.69e-06 ***
urban       -1.058e-01  3.428e-02  -3.086  0.00339 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 26.69 on 47 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6896,    Adjusted R-squared:  0.6698 
F-statistic: 34.81 on 3 and 47 DF,  p-value: 5.337e-12

anova(mod)
Analysis of Variance Table

Response: education
          Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
income     1  48087   48087 67.4869 1.219e-10 ***
young      1  19537   19537 27.4192 3.767e-06 ***
urban      1   6787    6787  9.5255  0.003393 ** 
Residuals 47  33489     713                      
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Wielkość współczynników dla „młodych” (0,8) i „miejskich” (-0,1, około 1/8 poprzedniego, ignorując „-”) nie odpowiada wyjaśnionej wariancji („młodzi” ~ 19500 i „miejscy” ~ 6790, tj. Około 1/3).

Pomyślałem więc, że będę musiał skalować moje dane, ponieważ założyłem, że jeśli zakres czynnika jest znacznie szerszy niż zakres innego czynnika, jego współczynniki trudno byłoby porównać:

Anscombe.sc<-data.frame(scale(Anscombe))
mod<-lm(education~income+young+urban,data=Anscombe.sc)
summary(mod)

Call:
lm(formula = education ~ income + young + urban, data = Anscombe.sc)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-1.29675 -0.33879 -0.02489  0.34191  1.10602 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  2.084e-16  8.046e-02   0.000  1.00000    
income       9.723e-01  1.121e-01   8.674 2.56e-11 ***
young        4.216e-01  8.242e-02   5.115 5.69e-06 ***
urban       -3.447e-01  1.117e-01  -3.086  0.00339 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.5746 on 47 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.6896,    Adjusted R-squared:  0.6698 
F-statistic: 34.81 on 3 and 47 DF,  p-value: 5.337e-12

anova(mod)
Analysis of Variance Table

Response: education
          Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
income     1 22.2830 22.2830 67.4869 1.219e-10 ***
young      1  9.0533  9.0533 27.4192 3.767e-06 ***
urban      1  3.1451  3.1451  9.5255  0.003393 ** 
Residuals 47 15.5186  0.3302                      
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Ale to tak naprawdę nie robi różnicy, częściowe i wielkość współczynników (są to teraz znormalizowane współczynniki ) wciąż nie pasują: $R^2$

22.3/(22.3+9.1+3.1+15.5)
# income: partial R2 0.446, Coeff 0.97
9.1/(22.3+9.1+3.1+15.5)
# young:  partial R2 0.182, Coeff 0.42
3.1/(22.3+9.1+3.1+15.5)
# urban:  partial R2 0.062, Coeff -0.34

Czy można więc powiedzieć, że „młody” wyjaśnia trzy razy większą wariancję niż „miejski”, ponieważ częściowe dla „młodego” jest trzy razy większe niż „miejskie”? $R^2$ Dlaczego współczynnik „młody” nie jest trzy razy większy niż współczynnik „miejski” (ignorując znak)?

Przypuszczam, że odpowiedź na to pytanie powie mi również odpowiedź na moje pierwsze pytanie: Czy powinienem użyć częściowego lub współczynników, aby zilustrować względną ważność czynników? (Na razie ignorowanie kierunku wpływu - znak -). $R^2$

Edytować:

Częściowe eta-kwadrat wydaje się być inną nazwą tego, co nazwałem częściowym . etasq {heplots} to przydatna funkcja, która daje podobne wyniki: $R^2$

etasq(mod)
          Partial eta^2
income        0.6154918
young         0.3576083
urban         0.1685162
Residuals            NA

— Robert
źródło

Co próbujesz zrobić lub pokazać dokładnie? Szacowany wpływ? Znaczenie?

— IMA,

Tak, znam testy T i F. Chciałbym pokazać szacunkowy wpływ, dla którego afaik t-testy F nie są odpowiednie.

— Robert

1

Moje pytanie brzmi: czy powinienem użyć częściowego współczynnika R² lub współczynników, aby pokazać, jak duży wpływ każdy czynnik ma na wynik? Zakładałem, że oba wskażą ten sam kierunek. Mówisz, że to nieprawda, ponieważ w danych występuje wielokoliniowość. W porządku, więc jeśli chcę powiedzieć, że czynnik „młody” wpływa na wynik x razy więcej / czy x razy jest ważniejszy niż czynnik „miejski”, czy patrzę na częściowe R² lub współczynniki?

— Robert

1

Nie zgadzam się z @IMA. Częściowe R podniesione do kwadratu jest bezpośrednio związane z częściową korelacją, co jest dobrym sposobem na badanie skorygowanych przez pomieszanie relacji między iv i dv.

— Michael M,

1

Zredagowałem twoje pytanie, aby pojawiło się ponownie na pierwszej stronie. Byłbym bardzo zainteresowany dobrą odpowiedzią; jeśli się nie pojawi, mógłbym nawet zaoferować nagrodę. Nawiasem mówiąc, współczynniki regresji po standaryzacji wszystkich predyktorów są nazywane „znormalizowanymi współczynnikami”. Podaję ten termin w twoje pytanie, aby było jaśniejsze.

— ameba mówi Przywróć Monikę

10

W krótkim czasie , nie używać zarówno częściowe i współczynniki znormalizowane w tej samej analizie, ponieważ nie są niezależne. Twierdziłbym, że porównywanie relacji przy użyciu standardowych współczynników jest zwykle bardziej intuicyjne, ponieważ łatwo odnoszą się one do definicji modelu (tj. ). Z kolei częściowe jest zasadniczo proporcją unikalnej wspólnej wariancji między predyktorem a zmienną zależną (dv) (więc dla pierwszego predyktora jest to kwadrat częściowej korelacji ). Ponadto, dla dopasowania z bardzo małym błędem wszystkie częściowe współczynniki $R^2$ $Y = \beta X$ $R^2$ $r_{x_1y.x_2...x_n}$ $R^2$ mają tendencję do 1, więc nie są przydatne w określaniu względnej ważności predyktorów.

Definicje wielkości efektu

współczynnik standaryzowany, - współczynniki uzyskane z oszacowania modelu na zmiennych standaryzowanych (średnia = 0, odchylenie standardowe = 1). $\beta_{std}$ $\beta$
częściowe - proporcja resztkowej zmienności wyjaśniona przez dodanie predyktora do modelu ograniczonego (pełny model bez predyktora). Taki sam jak: $R^2$
- kwadrat częściowej korelacji między predyktorem a zmienną zależną, kontrolujący wszystkie pozostałe predyktory w modelu. . $R_{partial}^2 = r_{x_iy.X\setminus x_i}^2$
- częściowy - stosunek sumy kwadratów typu III od predyktora do sumy kwadratów przypisanych do predyktora i błędu $\eta^2$ $\text{SS}_\text{effect}/(\text{SS}_\text{effect}+\text{SS}_\text{error})$
$\Delta R^2$ - Różnica w między modelem ograniczonym a pełnym. Równy: $R^2$
- kwadratowa korelacja dwuczęściowa $r_{x_i(y.X\setminus x_i)}^2$
- $\eta^2$ dla typu III suma kwadratów - co obliczałeś jako częściowe w pytaniu. $\text{SS}_\text{effect}/\text{SS}_\text{total}$ $R^2$

Wszystkie są ściśle powiązane, ale różnią się sposobem obsługi struktury korelacji między zmiennymi. Aby lepiej zrozumieć tę różnicę, załóżmy, że mamy 3 znormalizowane (średnia = 0, sd = 1) zmienne których korelacje to . Przyjmiemy jako zmienną zależną oraz i jako predyktory. Wyrażymy wszystkie współczynniki wielkości efektu w kategoriach korelacji, abyśmy mogli wyraźnie zobaczyć, jak każda z nich obsługuje strukturę korelacji. Najpierw współczynniki w modelu regresji oszacowane za pomocą OLS. Wzór na współczynniki: $x,y,z$ $r_{xy}, r_{xz}, r_{yz}$ $x$ $y$ $z$ $x=\beta_{y}Y+\beta_{z}Z$

\begin{aligned} β_{y} = \frac{r_{x y} - r_{y z} r_{z x}}{1 - r_{y z}^{2)}} \\ β_{z} = \frac{r_{x z} - r_{y z} r_{y x}}{1 - r_{y z}^{2)}}, \end{aligned}

$\begin{align}\beta_{y} = \frac{r_{xy}-r_{yz}r_{zx}}{1-r_{yz}^2}\\ \beta_{z}= \frac{r_{xz}-r_{yz}r_{yx}}{1-r_{yz}^2}, \end{align}$ Pierwiastek kwadratowy dla predyktorów będzie równy:

R_{partial}^{2}

$R_\text{partial}^2$

\sqrt{R_{x y . z}^{2)}} = \frac{r_{x y} - r_{y z} r_{z x}}{\sqrt{(1 - r_{x z}^{2)}) (1 - r_{y z}^{2)})}} \sqrt{R_{x z . y}^{2)}} = \frac{r_{x z} - r_{y z} r_{y x}}{\sqrt{(1 - r_{x y}^{2)}) (1 - r_{y z}^{2)})}}

$\sqrt{R^2_{xy.z}} = \frac{r_{xy}-r_{yz}r_{zx}}{\sqrt{(1-r_{xz}^2)(1-r_{yz}^2)}}\\ \sqrt{R^2_{xz.y}} = \frac{r_{xz}-r_{yz}r_{yx}}{\sqrt{(1-r_{xy}^2)(1-r_{yz}^2)}}$

jest równa: $\sqrt{\Delta R^2}$

\sqrt{R_{x y z}^{2)} - R_{x z}^{2)}} = r_{y (x . z)} = \frac{r_{x y} - r_{y z} r_{z x}}{\sqrt{(1 - r_{y z}^{2)})}} \sqrt{R_{x z y}^{2)} - R_{x y}^{2)}} = r_{z (x . y)} = \frac{r_{x z} - r_{y z} r_{y x}}{\sqrt{(1 - r_{y z}^{2)})}}

$\sqrt{R^2_{xyz}-R^2_{xz}}= r_{y(x.z)} = \frac{r_{xy}-r_{yz}r_{zx}}{\sqrt{(1-r_{yz}^2)}}\\ \sqrt{R^2_{xzy}-R^2_{xy}}= r_{z(x.y)}= \frac{r_{xz}-r_{yz}r_{yx}}{\sqrt{(1-r_{yz}^2)}}$

Różnica między nimi to mianownik, który dla i zawiera tylko korelację między predyktorami. Należy pamiętać, że w większości kontekstów (dla słabo skorelowanych predyktorów) rozmiar tych dwóch będzie bardzo podobny, więc decyzja nie wpłynie zbytnio na twoją interpretację. Ponadto, jeśli predyktory, które mają podobną siłę korelacji ze zmienną zależną i nie są zbyt silnie skorelowane, współczynniki będą podobne do stosunków . $\beta$ $\sqrt{\Delta R^2}$ $\sqrt{ R_\text{partial}^2}$ $\beta_{std}$

Powrót do kodu. anovaFunkcja w zastosowaniach R typu I Suma kwadratów domyślnie podczas częściowego , jak opisano powyżej, powinien być obliczany na podstawie sumy typu III kwadratów (które zdaniem jest równoznaczne z sumą pól typu II jeśli nie interakcja obecny w twoim modelu). Różnica polega na tym, jak wyjaśniony SS dzieli się między predyktory. W typie I SS pierwszy predyktor ma przypisane wszystkie wyjaśnione SS, drugi tylko „pozostały SS” z tego, a trzeci tylko pozostały SS z tego, dlatego kolejność wprowadzania zmiennych w wywołaniu zmienia ich odpowiednie SS . Najprawdopodobniej nie tego chcesz interpretować współczynniki modelu. $R^2$ lm

Jeśli użyjesz sumy kwadratów typu II w swoim Anovawywołaniu z carpakietu w R, wówczas wartości dla twojej anova będą równe wartości podniesionej do twoich współczynników (ponieważ ). Wskazuje to, że rzeczywiście te ilości są ściśle powiązane i nie powinny być oceniane niezależnie. Aby wywołać sumy kwadratów typu II w swojej przykład wymienić z . Jeśli uwzględnisz termin interakcji, będziesz musiał go zastąpić sumą kwadratów typu III, aby testy współczynnika i częściowe R były takie same (pamiętaj, aby przed wywołaniem zmienić kontrasty na sumę za pomocą ). Częściowe $F$ $t$ $F(1,n) = t^2(n)$ anova(mod)Anova(mod, type = 2)options(contrasts = c("contr.sum","contr.poly"))Anova(mod,type=3) $R^2$ to zmienna SS podzielona przez zmienną SS plus resztkowe SS. Spowoduje to uzyskanie takich samych wartości, jakie wymieniono w etasq()danych wyjściowych. Teraz testy i wartości dla wyników anova (częściowe ) i współczynników regresji są takie same. $p$ $R^2$

Kredyt

Wzór na korelację częściową podano w ttnphns. Odpowiedz tutaj: Regresja wielokrotna czy współczynnik korelacji częściowej? I relacje między nimi
Wzór na korelację częściowo częściową znalazłem tutaj: https://www3.nd.edu/~rwilliam/stats1/x92.pdf
Obserwacja, że częściowa wszystkich predyktorów będzie równa 1 dla idealnego dopasowania, a zatem nie jest przydatna do porównania ich względnej ważności, została przedstawiona przez amebę w komentarzach do tego pytania. $R^2$

— Chris Novak
źródło

Co rozumiesz przez „beta oblicza się na podstawie sumy kwadratów typu III”? Myślałem, że współczynniki regresji są określane w sposób, który nie ma nic wspólnego z wyborem typu SS; to zawsze , prawda?

β = (X^{⊤} X) X^{⊤} y

$\beta = (X^\top X)X^\top y$

— ameba mówi Przywróć Monikę

1

Masz rację, miałem na myśli to, że testy SS typu III dla współczynników dają zasadniczo taki sam test F i wartość p.

— Chris Novak

2

@amoeba po przeprowadzeniu obliczeń zredagowałem swoją odpowiedź, aby uwzględnić twoje sugestie, wyjaśnić nieco różnice między dwoma rozmiarami efektów i lepiej zająć się odpowiedzią PO.

— Chris Novak

1

@amoeba Zaktualizowałem moją odpowiedź zgodnie z sugestią. Teraz, gdy o tym myślę, bardziej sensowne jest porównanie standardowych współczynników lub niż częściowe . Nie ma sensu porównywanie częściowego na przykład dodanie predyktora, który jest nieskorelowany z innymi predyktorami, zmienia stosunki (istotność względną) częściowego między nimi.

Δ R^{2}

$\Delta R^2$

R^{2}

$R^2$

R^{2}

$R^2$

R^{2}

$R^2$

— Chris Novak

1

Dzięki, @Chris, twoja odpowiedź bardzo się poprawiła i do tej pory jest całkiem doskonała (gdybym był OP, zaakceptowałbym to). Nie jestem pewien, że zrozumiał swój argument na rzecz nad . Dodanie predyktora nieskorelowanego ze wszystkimi innymi predyktorami nie powinno zmienić SSeffect dla wszystkich innych (?), Ale zmniejszy SSerror. Tak więc pozostaną takie same, ale wszystkie wzrosną, a ich stosunki mogą się zmienić; czy o to ci chodziło? Oto kolejny argument: jeśli model jest idealny, a SSerror wynosi zero, to częściowe będzie równe dla wszystkich predyktorów! Niezbyt pouczające :)

Δ R^{2}

$\Delta R^2$

R_{p}^{2}

$R^2_p$

Δ R^{2}

$\Delta R^2$

R_{p}^{2}

$R^2_p$

R^{2}

$R^2$

1

$1$

— ameba mówi Przywróć Monikę

8

Jak już wyjaśniono w kilku innych odpowiedziach i komentarzach, pytanie to było oparte na co najmniej trzech nieporozumieniach:

Funkcja anova()wykorzystuje sekwencyjną (zwaną także typem I) sumę kwadratów (SS), która zależy od kolejności predyktorów. Dekompozycja odpowiadająca współczynnikom regresji i testom pod kątem ich znaczenia, to SS typu III, które można uzyskać za pomocą funkcji z pakietu. $t$ Anova()car
Nawet jeśli użyjesz rozkładu SS typu III, to częściowe dla każdego predyktora nie będą równe kwadratowym znormalizowanym współczynnikom . Stosunki tych wartości dla dwóch różnych predyktorów również będą różne. Obie wartości są miarami wielkości efektu (lub ważności), ale są różnymi , nie równoważnymi miarami. Mogą jakościowo zgodzić się przez większość czasu, ale nie muszą. $R^2$ $\beta_\mathrm{std}$
To, co nazywasz częściowym R do kwadratu, nie jest częściowym R do kwadratu. Częściowe jest zdefiniowane jako . W przeciwieństwie do tego, można nazwać „eta kwadrat” (zapożyczenie terminu z ANOVA) lub kwadratową korelację dwuczęściową, a być może dwuczęściową (w obu formułach jest rozumiany w sposób typu III). Ta terminologia nie jest bardzo standardowa. To kolejna możliwa miara ważności. $R^2$ $\text{SS}_\text{effect}/(\text{SS}_\text{effect}+\text{SS}_\text{error})$ $\text{SS}_\text{effect}/\text{SS}_\text{total}$ $R^2$ $\text{SS}_\text{effect}$

Po wyjaśnieniu tych nieporozumień pozostaje pytanie, jakie są najbardziej odpowiednie miary wielkości lub znaczenia efektu predyktora.

W wersji R znajduje się pakiet, relaimpoktóry zapewnia kilka miar względnego znaczenia.

library(car)
library(relaimpo)
mod <- lm(education~income+young+urban, data=Anscombe)
metrics <- calc.relimp(mod, type = c("lmg", "first", "last", "betasq", "pratt", "genizi", "car"))

Korzystanie z tego samego Anscombezestawu danych, co w pytaniu, daje następujące dane:

Relative importance metrics: 

              lmg      last      first    betasq       pratt     genizi        car
income 0.47702843 0.4968187 0.44565951 0.9453764  0.64908857 0.47690056 0.55375085
young  0.14069003 0.1727782 0.09702319 0.1777135  0.13131006 0.13751552 0.13572338
urban  0.07191039 0.0629027 0.06933945 0.1188235 -0.09076978 0.07521276 0.00015460

Niektóre z tych wskaźników zostały już omówione:

betasqto kwadratowe standardowe współczynniki, takie same wartości jak uzyskane lm().
first $\text{SS}_\text{effect}/\text{SS}_\text{total}$ $\text{SS}_\text{effect}$ anova()
last $R^2$ $\text{SS}_\text{effect}/\text{SS}_\text{total}$ $\text{SS}_\text{effect}$ $R^2$ anova()

$R^2$

Istnieją cztery dalsze metryki w relaimpo- a jedna (piąta) jest dostępna, jeśli pakiet relaimpojest instalowany ręcznie: wersja CRAN wyklucza tę metrykę z powodu potencjalnego konfliktu z jej autorem, który, jakkolwiek szalony, ma patent amerykański na jego metodę . Korzystam z R online i nie mam do niego dostępu, więc jeśli ktokolwiek może ręcznie zainstalować relaimpo, dodaj tę dodatkową metrykę do moich danych wyjściowych powyżej, aby uzyskać kompletność.

Dwie metryki prattmogą być negatywne (złe) i genizidość niejasne.

Dwa interesujące podejścia to lmgi car.

$\text{SS}_\text{effect}/\text{SS}_\text{total}$ $\text{SS}_\text{effect}$

Drugi został wprowadzony w (Zuber i Strimmer, 2011) i ma wiele interesujących właściwości teoretycznych; to kwadratowe znormalizowane współczynniki po uprzedniej standaryzacji predyktorów, a następnie wybieleniu za pomocą transformacji ZCA / Mahalanobis (tj. wybieleniu przy minimalizacji błędu rekonstrukcji).

$2:1$ lmg $878:1$ car

Bibliografia:

Odniesienia na temat względnego znaczenia na stronie internetowej Ulrike Grömping - jest autorką relaimpo.
Grömping, U. (2006). Względne znaczenie dla regresji liniowej w R: Pakiet relaimpo . Journal of Statistics Software 17, wydanie 1.
Grömping, U. (2007). Estymatory względnego znaczenia w regresji liniowej na podstawie rozkładu wariancji . The American Statistician 61, 139-147.
Zuber, V. and Strimmer, K. (2010). Regresja wielowymiarowa i wybór zmiennych za pomocą wyników CAR . Zastosowania statystyczne w genetyce i biologii molekularnej 10.1 (2011): 1-27.
Grömping, U. (2015). Zmienne znaczenie w modelach regresji . Wiley Interdisciplinary Reviews: Statystyka obliczeniowa, 7 (2), 137-152. (za ścianą płatną)

— ameba mówi Przywróć Monikę
źródło

Bardzo ładne podsumowanie z dodatkowymi cennymi informacjami na temat różnych współczynników ważności. BTW, czy używasz online tego silnika R pbil.univ-lyon1.fr/Rweb czy innego?

— ttnphns

1

Korzystam z r-fiddle.org , ale nigdy nie próbowałem niczego innego i nie wiem, jak to porównać. Wygląda jednak dość elegancko.

— ameba mówi Przywróć Monikę

Bardzo jasne podsumowanie i dodatkowe informacje na temat rozmiarów efektów (+1)

— Chris Novak

4

Napisałeś:

Moje pytanie brzmi: czy powinienem użyć częściowego współczynnika R² lub współczynników, aby pokazać, jak duży wpływ każdy czynnik ma na wynik?

Ważne jest, aby nie mylić tutaj dwóch rzeczy. Po pierwsze, jest kwestia specyfikacji modelu. Algorytm lm zakłada, że założenia OLS są spełnione. Oznacza to między innymi, że dla obiektywnych szacunków w modelu nie może brakować zmiennej znaczącej NO (z wyjątkiem sytuacji, gdy jest ona nieskorelowana ze wszystkimi innymi regresorami, rzadko).
Dlatego przy znajdowaniu modelu dodatkowy wpływ na R² lub skorygowany R² jest oczywiście interesujący. Można by pomyśleć, że właściwe jest dodawanie regresorów, aż na przykład skorygowany R² przestanie się poprawiać. Istnieją ciekawe problemy z takimi procedurami regresji krokowej, ale to nie jest temat. W każdym razie zakładam, że był powód, dla którego wybrałeś swój model.

JEDNAK: ten dodatkowy wpływ na R² nie jest identyczny z rzeczywistym lub całkowitym wpływem regresora na zmienną niezależną, właśnie z powodu wieloklinowości: jeśli usuniesz regresor, część jego wpływu zostanie teraz przypisana innym regresorom, które są z tym skorelowane. Tak więc teraz prawdziwy wpływ nie jest poprawnie pokazany.

I jest jeszcze jeden problem: szacunki są ważne tylko dla pełnego modelu z wszystkimi innymi regresorami. Albo ten model nie jest jeszcze poprawny i dlatego dyskusja na temat wpływu jest bez znaczenia - lub jest poprawna, a wtedy nie można wyeliminować regresora i nadal z powodzeniem stosować metody OLS.

Więc: czy Twój model i korzystanie z OLS są odpowiednie? Jeśli tak, to szacunki odpowiadają na twoje pytanie - są twoim dosłownym najlepszym odgadnięciem wpływu zmiennych na regresand / zmienną zależną.
Jeśli nie, to Twoim pierwszym zadaniem jest znalezienie odpowiedniego modelu. W tym celu można zastosować częściowe R2. Wyszukiwanie specyfikacji modelu lub regresja krokowa przyniesie wiele interesujących podejść na tym forum. To, co działa, będzie zależeć od twoich danych.

— IMA
źródło

1

Dziękuję cztery za odpowiedź! Nie jestem pewien, czy twoje stwierdzenie, że „ten dodatkowy wpływ na R² nie jest identyczny z rzeczywistym lub całkowitym wpływem regresora na zmienną niezależną” nie jest kontrowersyjne. Na przykład pakiet relaimpo cran.r-project.org/web/packages/relaimpo/relaimpo.pdf wykorzystuje na przykład częściowy R² „do oceny względnego znaczenia w modelach liniowych”.

— Robert

1

Czy uważasz, że możesz podać odniesienie do swojego poglądu, że R² powinno być używane tylko do wyboru modelu?

— Robert

1

@robert: Racją bytu relaimpojest zapewnienie alternatywy dla częściowego R ^ 2, właśnie z tego powodu, który podaje IMA!

— Scortchi - Przywróć Monikę

1

@Scortchi: Wow, po zapoznaniu się z instrukcją relaimpopakietu zdałem sobie sprawę, że istnieje cały świat różnych podejść do kwantyfikacji względnej ważności predyktorów w regresji liniowej. Obecnie przeglądam powiązane z nim dokumenty (do tej pory przedruk z 2010 roku wyglądał całkiem nieźle), a to jest bałagan! Nie zdawałem sobie sprawy, że ten problem jest tak skomplikowany, kiedy zaoferowałem nagrodę. Nie wydaje się, aby zostało to odpowiednio omówione w CV. Czy to jest niejasny temat? Jeśli tak, dlaczego?

— ameba mówi Przywróć Monikę

2

@amoeba: Bezpośrednia odpowiedź brzmi: „względna ważność predyktorów” nie jest aż tak ważna dla większości celów. Jeśli masz model, z którego jesteś zadowolony, możesz użyć go, aby powiedzieć, że palenie jednego papierosa dziennie jest równoznaczne z jedzeniem pięciu hamburgerów pod względem ryzyka zawału serca - znaczenie ma merytoryczna interpretacja tego, co modelujesz; jeśli porównujesz modele, porównujesz całe modele - powiedzmy te z parą predyktorów i bez niej - i nie musisz się martwić, że moc predykcyjna może być dość podzielona.

— Scortchi - Przywróć Monikę

3

Jeśli chodzi o różnicę między współczynnikiem regresji liniowej a korelacją częściową, możesz to na przykład przeczytać.

Jednak zamieszanie wyrażone w pytaniu wydaje się mieć inny charakter. Wygląda na to, że chodzi o domyślny typ sum kwadratów używanych przez ten lub inny pakiet statystyczny (temat, wielokrotnie omawiany na naszej stronie). Regresja liniowa wykorzystuje tak zwane obliczanie SS ANOVA typu III. W wielu programach ANOVA jest to również opcja domyślna. W Rfunkcji anovawydaje mi się (nie jestem użytkownikiem R, więc przypuszczam, że). Domyślnym rachunkiem jest SS typu I („sekwencyjne SS”, które zależy od kolejności, w jakiej predyktory są określone w modelu). Tak więc rozbieżność, którą zaobserwowałeś i która nie zniknęła, gdy ustandaryzowałeś („skalowałeś”) swoje zmienne, ponieważ określiłeś ANOVA z domyślną opcją Typu I.

Poniżej znajdują się wyniki uzyskane w SPSS z Twoimi danymi:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

W wydrukach tych można wybrać, że parametry (współczynniki regresji) są takie same, niezależnie od rodzaju obliczeń SS. Możesz również zauważyć, że częściowy Eta do kwadratu [który jest SSeffect / (SSeffect + SSerror) i = częściowy R do kwadratu w naszym przypadku, ponieważ predyktory są zmiennymi liczbowymi] jest w pełni taki sam w tabeli efektów i współczynników tylko, gdy typ SS to III. Gdy typ SS to I, tylko ostatni z 3 predyktorów, „urban”, zachowuje tę samą wartość (.169); dzieje się tak, ponieważ w sekwencji wprowadzania predyktorów jest to ostatni. W przypadku SS typu III kolejność wprowadzania nie ma znaczenia, jak w regresji. Nawiasem mówiąc, rozbieżność jest również przestrzegana w wartościach p. Chociaż nie widać tego w moich tabelach, ponieważ w kolumnie „Sig” są tylko 3 cyfry dziesiętne,

Możesz przeczytać więcej o różnych „typach SS” w ANOVA / modelu liniowym. Pod względem koncepcyjnym typ SS typu III lub „regresja” jest fundamentalny i pierwotny. Inne typy SS (I, II, IV, istnieje jeszcze więcej) to specjalne urządzenia do oszacowania efektów w sposób bardziej kompleksowy, mniej marnotrawny, niż pozwalają parametry regresji w sytuacji skorelowanych predyktorów.

Ogólnie rzecz biorąc, rozmiary efektów i ich wartości p są ważniejsze do zgłaszania niż parametry i ich wartości p, chyba że celem badania jest stworzenie modelu na przyszłość. Parametry pozwalają przewidzieć, ale „wpływ” lub „efekt” może być szerszym pojęciem niż „siła predykcji liniowej”. Aby zgłosić wpływ lub wagę, możliwe są inne współczynniki oprócz częściowego kwadratu Eta. Jednym z nich jest współczynnik pominięcia: ważność predyktora jest resztkową sumą kwadratów z predyktorem usuniętym z modelu, znormalizowanym, tak że wartości istotności dla wszystkich predyktorów wynoszą 1.

— ttnphns
źródło

+1, dziękuję za dołączenie do dyskusji. Mam pytanie terminologiczne. „Częściowe R podniesione do kwadratu” jest zdefiniowane jako SSeffect / (SSeffect + SSerror). Jak nazywa się SSeffect / SStotal? O ile rozumiem (popraw mnie, jeśli się mylę), jeśli użyjemy dekompozycji SS typu III, wówczas ten SSeffect / SStotal będzie równy kwadratowej częściowej korelacji między odpowiedzią a tym predyktorem (kontrolujący dla wszystkich innych predyktorów). Czy ta ilość ma nazwę? Częściowe R2 jest analogiczne do częściowego eta do kwadratu, ale dlaczego nie ma nazwy analogu eta do kwadratu? Jestem tym zmieszany.

— ameba mówi Przywróć Monikę

Ups, myślę, że napisałem kilka bzdur powyżej: kwadratowa korelacja częściowa to SSeffect / (SSeffect + SSerror), czyli dokładnie częściowa R2, prawda? Pozostaje jednak pytanie, jak wywołać SSeffect / SStotal (co OP próbował obliczyć w swoim pierwotnym pytaniu!). Czy powinniśmy nazwać to eta kwadratem? Lub „partycjonowany R2” (rozumiejąc oczywiście, że dla SS typu III te „partycje” nie sumują się do całkowitej R2)?

— ameba mówi Przywróć Monikę

1

Tak, SSeffect / SStotal jest po prostu eta kwadrat. Jest eta do kwadratu predyktora w tym konkretnym modelu (nie mylić z marginalną eta do kwadratu = eta do kwadratu, gdy predyktorem jest tylko jeden w modelu = Pearson r ^ 2 rzędu zerowego, w naszym przypadku predyktorów ciągłych).

— ttnphns

1

Dokładnie tak. Korelacja części jest (szczególnym przypadkiem) eta. Myślę, że właściwe jest zatem nazywanie tego eta w części modelowej eta. Po prostu nie pamiętam żadnego tekstu, w którym napotykam termin „część” lub „półmetalowy” eta. Jeśli się dowiesz, daj mi znać.

— ttnphns

1

Tak; dlaczego myślę tak samo. Ale r, częściowe r, częściowe r są szczególnymi przypadkami odpowiedniej eta. Ważna różnica terminologiczna między nimi pojawia się jednak w kontekście, gdy oprócz ogólnego kategorycznego (pozornego) efektu „nieliniowego” dodajemy liniowy (lub wielomianowy) efekt predyktora, jakby kodowany numerycznie. Tutaj wyświetlamy 3 efekty: Połączony Etasq = Liniowy Rsq + Odchylenie od liniowości.

— ttnphns