Założenie ANOVA normalność / rozkład normalny reszt

Strona Wikipedii na temat ANOVA wymienia trzy założenia , a mianowicie:

• Niezależność przypadków - jest to założenie modelu upraszczającego analizę statystyczną.
• Normalność - rozkłady reszt są normalne.
• Równość (lub „jednorodność”) wariancji, zwana homoscedastycznością ...

Punkt zainteresowania jest tutaj drugim założeniem. Kilka źródeł wylicza założenie inaczej. Niektórzy mówią o normalności surowych danych, inni twierdzą, że są to resztki.

Pojawia się kilka pytań:

• czy normalność i normalny rozkład reszt to ta sama osoba (na podstawie wpisu w Wikipedii twierdziłbym, że normalność jest własnością i nie dotyczy bezpośrednio reszt (ale może być właściwością reszt (głęboko zagnieżdżony tekst w nawiasach, dziwaczny)))?
• jeśli nie, jakie założenie należy przyjąć? Jeden? Obie?
• jeśli założenie o normalnie rozłożonych resztach jest słuszne, czy popełniamy poważny błąd, sprawdzając tylko histogram wartości surowych pod kątem normalności?

Załóżmy, że jest to model efektów stałych . (Rada tak naprawdę nie zmienia się w przypadku modeli z efektami losowymi, tylko trochę się komplikuje.)

1. Nie, normalność i normalny rozkład resztek nie są takie same . Załóżmy, że zmierzyłeś plon z uprawy z aplikacją nawozu i bez. Na poletkach bez nawozu plon wahał się od 70 do 130. Na dwóch poletkach z nawozem plon wahał się od 470 do 530. Rozkład wyników jest bardzo nietypowy: jest skupiony w dwóch miejscach związanych z aplikacją nawozu. Załóżmy ponadto, że średnie wydajności wynoszą odpowiednio 100 i 500. Wtedy wszystkie wartości resztkowe mieszczą się w zakresie od -30 do +30. Mogą być (lub nie) normalnie dystrybuowane, ale oczywiście jest to zupełnie inna dystrybucja.

2. Rozkład reszt ma znaczenie , ponieważ odzwierciedlają losową część modelu. Należy również zauważyć, że wartości p są obliczane ze statystyk F (lub t) i zależą one od reszt, a nie od wartości pierwotnych.

3. Jeśli dane mają znaczący i ważny wpływ (jak w tym przykładzie), możesz popełnić „poważny” błąd . Możesz, na szczęście, dokonać właściwego ustalenia: to znaczy, patrząc na surowe dane, zobaczysz mieszankę dystrybucji, a to może wyglądać normalnie (lub nie). Chodzi o to, że to, czego szukasz, nie ma znaczenia.

Resztki ANOVA nie muszą być zbliżone do normalnych, aby pasowały do ​​modelu. Jednak prawie normalność reszt jest niezbędna, aby wartości p obliczone z rozkładu F były znaczące.

Standardowa klasyczna jednokierunkowa ANOVA może być postrzegana jako rozszerzenie klasycznego „testu T z 2 próbkami” do „testu T z n próbkami”. Można to zaobserwować porównując jednokierunkową ANOVA z tylko dwiema grupami z klasycznym 2-próbnym testem T.

Myślę, że mylisz się, że (zgodnie z założeniami modelu) reszty i surowe dane są ZARÓWNO normalnie rozłożone. Jednak surowe dane składają się z normalnych rozkładów na różne sposoby (chyba że wszystkie efekty są dokładnie takie same), ale z tą samą wariancją. Z drugiej strony reszty mają ten sam rozkład normalny . Wynika to z trzeciego założenia homoscedastyczności.

$Y_{ij}$$\mu_{j}$$\sigma^2$$Y_{ij}=\mu_{j}+\sigma\epsilon_{ij}$$\epsilon_{ij}$

$\epsilon_{ij}$

$Y_{ij}$

$p$$n_{j}$$F = \frac{SS_{b} / df_{b}}{SS_{w} / df_{w}}$

$SS_{b} = \sum_{j=1}^{p}{n_{j} (M - M_{j}})^{2}$

$SS_{w} = \sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{n_{j}}{(y_{ij} - M_{j})^{2}}$

$F$$F$$SS_{b} / df_{b}$$SS_{w} / df_{w}$$\chi^{2}$$df_{b}$$df_{w}$$SS_{b}$$SS_{w}$$0$$M-M_{j}$$y_{ij}-M_{j}$

$y_{i(j)} - M_{j}$$Y = \mu_{j} + \epsilon = \mu + \alpha_{j} + \epsilon$$y_{i(j)} - M$$Y = \mu + \epsilon$$M - M_{j}$

$H_{0}$$M$$y_{i(j)} - M_{j}$$M - M_{j}$