Dlaczego prawdopodobieństwo zerowe dla dowolnej wartości rozkładu normalnego?

Zauważyłem, że w rozkładzie normalnym prawdopodobieństwo wynosi zero, natomiast dla rozkładu Poissona nie będzie równe zero, gdy jest liczbą całkowitą nieujemną. $P(x=c)$ $c$

Moje pytanie brzmi: czy prawdopodobieństwo jakiejkolwiek stałej w rozkładzie normalnym wynosi zero, ponieważ reprezentuje pole pod dowolną krzywą? Czy to tylko reguła do zapamiętania?

probability normal-distribution poisson-distribution

— Psycho 4 Fizyka
źródło

ciągła dystrybucja vs dyskretne

— Glen_b

Bardzo ściśle powiązane (nieco inne pytanie, zasadniczo ta sama odpowiedź): stats.stackexchange.com/questions/4220 .

— whuber

Nic, o czym warto wiedzieć, nigdy nie jest jedynie „zasadą do zapamiętania”.

— Matthew Drury,

Być może następujący eksperyment myślowy pomoże ci lepiej zrozumieć, dlaczego prawdopodobieństwo wynosi zero w ciągłym rozkładzie: Wyobraź sobie, że masz koło fortuny . Zwykle koło jest podzielone na kilka odrębnych sektorów, może około 20. Jeżeli wszystkie sektory mają taką samą powierzchnię, trzeba prawdopodobieństwo na trafienie jednego konkretnego sektora (np główną cenę). Suma wszystkich prawdopodobieństw 1, ponieważ . Bardziej ogólnie: jeśli istnieje $Pr(X=a)$ $1/20$ $20\cdot 1/20 = 1$ $m$ sektory równomiernie rozmieszczone na kole, każdy sektor ma prawdopodobieństwo trafienia (jednolite prawdopodobieństwo). Ale co się stanie, jeśli zdecydujemy się podzielić koło na milion sektorów. Teraz prawdopodobieństwo trafienia jedno konkretne sektory (główna nagroda), jest bardzo mała: . Ponadto należy zauważyć, że wskaźnik teoretycznie może zatrzymać się na nieskończonej liczbie pozycji koła. Gdybyśmy chcieli stworzyć osobną nagrodę dla każdego możliwego punktu zatrzymania, musielibyśmy podzielić koło na nieskończoną liczbę „sektorów” o równej powierzchni (ale każdy z nich miałby powierzchnię 0). Ale jakie prawdopodobieństwo powinniśmy przypisać każdemu z tych „sektorów”? To musi być zero $1/m$ $1/10^{6}$ ponieważ jeśli prawdopodobieństwo dla każdego „sektora” byłoby dodatnie i równe, suma nieskończenie wielu równych liczb dodatnich jest rozbieżna, co tworzy sprzeczność (całkowite prawdopodobieństwo musi wynosić 1). Właśnie dlatego możemy przypisać prawdopodobieństwo do przedziału , do rzeczywistego obszaru na kole.

Bardziej technicznie: w rozkładzie ciągłym (np. Ciągłym jednorodnym , normalnym i innych ) prawdopodobieństwo oblicza się przez całkowanie, jako pole pod funkcją gęstości prawdopodobieństwa (przy ): Ale obszar przedziału długości 0 wynosi 0. $f(x)$ $a\leq b$

P. (za \leq X \leq b) = \int_{za}^{b} fa (x) re x

$P(a\leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

Zobacz ten dokument, aby zobaczyć analogię koła fortuny.

Z drugiej strony rozkład Poissona jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa. Losowa zmienna Poissona może przyjmować tylko wartości dyskretne (tzn. Liczba dzieci w jednej rodzinie nie może wynosić 1,25). Prawdopodobieństwo, że rodzina ma dokładnie 1 dziecko, z pewnością nie wynosi zero, ale jest dodatnie. Suma wszystkich prawdopodobieństw dla wszystkich wartości musi wynosić 1. Inne znane rozkłady dyskretne to: Dwumianowy , ujemny dwumianowy , geometryczny , hipergeometryczny i wiele innych .

— COOLSerdash
źródło

Argument ten zawodzi w kluczowym punkcie: nie zawsze jest tak, że „suma liczb nieskończonych liczb dodatnich jest nieskończona”. Sekwencja prawdopodobieństw Poissona jest kontrprzykładem! Możesz to naprawić za pomocą odpowiednich kwalifikacji, takich jak wskazanie, że suma nieskończenie wielu liczb dodatnich , bez względu na to, jak małe mogą być, jest rozbieżna.

— whuber

@ whuber Myślę, że to właśnie miałem na myśli, kiedy napisałem odpowiedź, ale nie sformułowałem jej poprawnie. Dzięki za heads-upy. Mam nadzieję, że teraz jest poprawne.

— COOLSerdash,

1

$1$

@whuber Teraz jestem zdezorientowany. To właśnie sformułowanie, które zasugerowałeś, dodałem w pierwszym komentarzu: „[...] na przykład wskazując, że suma nieskończenie wielu liczb dodatnich, bez względu na to, jak małe mogą być, różni się”

— COOLSerdash

@ whuber Racja, teraz jest całkowicie jasne. Do mojej odpowiedzi dodałem kwalifikację. Jeszcze raz dziękuję za zwrócenie na to uwagi.

— COOLSerdash,

„Prawdopodobieństwa ciągłych zmiennych losowych (X) są zdefiniowane jako pole pod krzywą jego pliku PDF. Zatem tylko zakresy wartości mogą mieć niezerowe prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa równa się pewnej wartości jest zawsze równa zero”. strona referencyjna: http://support.minitab.com/en-us/minitab-express/1/help-and-how-to/basic-statistics/probability-distribution/supporting-topics/basics/continuous-and-discrete -problemy-rozkłady /

— Rui HUANG
źródło