Oczekiwana liczba duplikatów (trzykrotne itp.) Podczas rysowania z zamiennikiem

Mam następujący problem:

Mam 100 unikalnych przedmiotów (n) i wybieram 43 (m) pojedynczo (z wymianą).

Muszę rozwiązać dla oczekiwanej liczby unikatów (wybranych tylko raz, k = 1), podwójnych (wybrane dokładnie dwa razy k = 2), potrójnych (dokładnie k = 3), quadów itp.

Udało mi się znaleźć wiele wyników dotyczących prawdopodobieństwa wystąpienia co najmniej jednego podwójnego (paradoks urodzinowy), ale nie oczekiwanej liczby par w populacji.

probability expected-value birthday-paradox

— Kaitlyn K
źródło

Czy oszacowanie Monte Carlo byłoby dla Ciebie przydatne, czy potrzebujesz odpowiedzi w formie zamkniętej?

— David J. Harris,

Wolę formułę w formie zamkniętej, dzięki czemu mogę łatwo zastosować ją do różnych wartości n, m i k.

— Kaitlyn K

Iterm zostanie wybrany razy. Na tej podstawie możesz znaleźć wszystkie potrzebne ilości, ponieważ np. Na przykład oczekiwaną liczbę par podaje $i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

Możesz uzyskać wartość liczbową w R za pomocą polecenia n * dbinom (k, m, 1 / n).

— Stefan Wager
źródło

Czy można zastosować tę formułę dla ak = 0 lub 1?

— Kaitlyn K

Tak, może. Przy k = 0 możesz zinterpretować to jako „ile punktów nie pojawi się wśród m wybranych”.

— Stefan Wager

Ale te wydarzenia nie są niezależne. Np. Gdy pozycja 1 pojawi się m razy, żadne inne pozycje nigdy się nie pojawią. Nie można po prostu dodać P.

— asterix314