Wariancja iloczynu wielu zmiennych losowych

Znamy odpowiedź na dwie niezależne zmienne:

V a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - (E (X Y))^{2} = V a r (X) V a r (Y) + V a r (X) (E (Y))^{2} + V a r (Y) (E (X))^{2}

${\rm Var}(XY) = E(X^2Y^2) − (E(XY))^2={\rm Var}(X){\rm Var}(Y)+{\rm Var}(X)(E(Y))^2+{\rm Var}(Y)(E(X))^2$

Jeśli jednak weźmiemy iloczyn więcej niż dwóch zmiennych, , jaka byłaby odpowiedź pod względem wariancji i oczekiwanych wartości każdej zmiennej? ${\rm Var}(X_1X_2 \cdots X_n)$

variance random-variable independence

— damla
źródło

Ponieważ

jest zmienną losową i (zakładając, że wszystkie

są niezależne) jest niezależna od

, odpowiedź uzyskuje się indukcyjnie: nic nowego nie jest potrzebne. Aby nie wydawało się to zbyt tajemnicze, technika nie różni się niczym od wskazania, że skoro możesz dodać dwie liczby za pomocą kalkulatora, możesz dodawać

liczb za pomocą tego samego kalkulatora tylko poprzez wielokrotne dodawanie.

X_{1} X_{2} \dots X_{n - 1}

$X_1X_2\cdots X_{n-1}$

X_{i}

$X_i$

X_{n}

$X_n$

n

$n$

— whuber

Czy możesz napisać dowód na wyświetlone równanie? Jestem ciekawy, co się stało z terminem

który powinien dać ci kilka terminów obejmujących

(E [X Y])^{2}

$(E[XY])^2$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, podejrzewam, że to pytanie milcząco zakłada, że

są niezależne. Formuła OP jest poprawna, ilekroć

są nieskorelowane, a

są nieskorelowane. Zobacz moją odpowiedź na powiązane pytanie tutaj .

X

$X$

Y

$Y$

X, Y

$X,Y$

X^{2}, Y^{2}

$X^2, Y^2$

— Makro

@Macro Zdaję sobie sprawę z poruszonych kwestii. To, co próbowałem przekonać OP do zrozumienia i / lub samodzielnego zrozumienia, to to, że dla niezależnych zmiennych losowych, podobnie jak

upraszcza do

E [X^{2} Y^{2}]

$E[X^2Y^2]$

upraszcza do

E [X^{2} Y^{2}] = E [X^{2}] E [Y^{2}] = (σ_{X}^{2} + μ_{X}^{2}) (σ_{Y}^{2} + μ_{Y}^{2}),

$E[X^2Y^2]=E[X^2]E[Y^2]=(\sigma_X^2+\mu_X^2)(\sigma_Y^2+\mu_Y^2),$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}]

$E[(X_1\cdots X_n)^2]$

E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] = \prod_{i = 1}^{n} (σ_{X_{i}}^{2} + μ_{X_{i}}^{2})

$E[(X_1\cdots X_n)^2]=E[X_1^2]\cdots E[X_n^2]=\prod_{i=1}^n(\sigma_{X_i}^2+\mu_{X_i}^2)$ co, jak sądzę, jest bardziej bezpośrednim sposobem na osiągnięcie ostatecznego wyniku niż metoda indukcyjna, na którą wskazał Whuber.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, nice. Sugeruję, abyś opublikował to jako odpowiedź, abym mógł ją głosować!

— Makro

$X_1, X_2, \cdots , X_n$

\begin{aligned} var (X_{1} \dots X_{n}) & = E [(X_{1} \dots X_{n})^{2}] - {(E [X_{1} \dots X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2} \dots X_{n}^{2}] - {(E [(X_{1}] \dots E [X_{n}])}^{2} \\ = E [X_{1}^{2}] \dots E [X_{n}^{2}] - (E [X_{1}])^{2} \dots (E [X_{n}])^{2} \\ = \prod_{i = 1}^{n} (var (X_{i}) + (E [X_{i}])^{2}) - \prod_{i = 1}^{n} {(E [X_{i}])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(X_1\cdots X_n) &= E[(X_1\cdots X_n)^2]-\left(E[X_1\cdots X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2\cdots X_n^2]-\left(E[(X_1]\cdots E[X_n]\right)^2\\ &= E[X_1^2]\cdots E[X_n^2] - (E[X_1])^2\cdots (E[X_n])^2\\ &= \prod_{i=1}^n \left(\operatorname{var}(X_i)+(E[X_i])^2\right) - \prod_{i=1}^n \left(E[X_i]\right)^2 \end{align}$

n = 2

$n=2$

n = 2

$n=2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1}^{2}

$X_1^2$

X_{2}^{2}

$X_2^2$

n \geq 3

$n \geq 3$

— Dilip Sarwate
źródło

wielkie dzięki! Bardzo to doceniam. Tak, pytanie dotyczyło niezależnych zmiennych losowych.

— damla

X_{1} = X_{2} = \dots = X_{n} = X

$X_1=X_2=\cdots=X_n=X$

Zadałem pytanie na nowej stronie. Wielkie dzięki! stats.stackexchange.com/questions/53380/…

— damla

n

$n$

3

$3$