Funkcja generowania momentu wewnętrznego iloczynu dwóch losowych wektorów gaussowskich

Czy ktoś może zasugerować, jak mogę obliczyć funkcję generującą moment wewnętrznego iloczynu dwóch losowych wektorów Gaussa, z których każdy jest rozłożony jako $\mathcal N(0,\sigma^2)$, niezależne od siebie? Czy jest dostępny jakiś standardowy wynik? Każdy wskaźnik jest bardzo ceniony.

Najpierw zajmijmy się tą sprawą $\Sigma = \sigma\mathbb{I}$. Na koniec jest (łatwe) uogólnienie na arbitralne$\Sigma$.

Zacznij od obserwowania iloczynu wewnętrznego jest sumą zmiennych iid, z których każda jest iloczynem dwóch niezależnych normalnych$(0,\sigma)$ zmienia się, redukując w ten sposób pytanie do znalezienia mgf tego ostatniego, ponieważ mgf sumy jest iloczynem mgfs.

MGF można znaleźć przez integrację, ale istnieje łatwiejszy sposób. Kiedy$X$ i $Y$ są standardowe normalne,

$$XY = ((X+Y)/2)^2 - ((X-Y)/2)^2$$

jest różnicą dwóch niezależnych skalowanych wariantów chi-kwadrat. (Współczynnik skali wynosi$1/2$ ponieważ wariancje $(X\pm Y)/2$ równy $1/2$.) Ponieważ mgf zmiennej chi-kwadrat wynosi $1/\sqrt{1 - 2\omega}$, mgf z $((X+Y)/2)^2$ jest $1/\sqrt{1-\omega}$ i mgf z $-((X-Y)/2)^2$ jest $1/\sqrt{1+\omega}$. Mnożąc, stwierdzamy, że pożądany mgf jest równy$1/\sqrt{1-\omega^2}$.

(W celu późniejszego wykorzystania zwróć uwagę, że kiedy $X$ i $Y$ są przeskalowane przez $\sigma$, ich produkt skaluje się według $\sigma^2$skąd $\omega$ powinien być skalowany według $\sigma^2$, też.)

Powinno to wyglądać znajomo: do pewnych stałych czynników i znaku, wygląda jak gęstość prawdopodobieństwa dla rozkładu t Studenta$0$stopnie swobody. (Rzeczywiście, gdybyśmy pracowali z charakterystycznymi funkcjami zamiast mgfs, otrzymalibyśmy$1/\sqrt{1 + \omega^2}$, który jest jeszcze bliżej pliku PDF ucznia.) Nieważne, że nie ma czegoś takiego jak Student t $0$ dfs - liczy się tylko to, że mgf są analityczne w sąsiedztwie $0$ i to wyraźnie jest (według twierdzenia dwumianowego).

Wynika z tego natychmiast, że rozkład produktu wewnętrznego tych iidów Gaussa $n$-wektory ma mgf równe $n$-fold produkt tego mgf,

$$(1 - \omega^2 \sigma^4)^{-n/2}, \quad n=1, 2, \ldots.$$

Przez patrząc charakterystyczną funkcją t rozkładów Studenta wnosimy (z odrobiną algebry lub integracji, aby znaleźć stałą normalizujące), że sama PDF jest dana przez

$$f_{n,\sigma}(x) = \frac{2^{\frac{1-n}{2}} |x|^{\frac{n-1}{2}} K_{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{|x|}{\sigma ^2}\right)}{\sqrt{\pi } \sigma ^4 \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}$$

($K$ jest funkcją Bessela).

Na przykład tutaj jest wykres tego pliku PDF nałożonego na histogram losowej próbki $10^5$ takie produkty wewnętrzne gdzie $\sigma=1/2$ i $n=3$:

Trudniej jest potwierdzić dokładność mgf z symulacji, ale zauważ (z twierdzenia dwumianowego), że

$$(1 + t^2 \sigma^4)^{-3/2} = 1-\frac{3 \sigma ^4 t^2}{2}+\frac{15 \sigma ^8 t^4}{8}-\frac{35 \sigma ^{12} t^6}{16}+\frac{315 \sigma ^{16} t^8}{128}+\ldots,$$

z których możemy odczytać momenty (podzielone przez silnie). Ze względu na symetrię około$0$, ważne są tylko parzyste momenty. Dla$\sigma=1/2$ otrzymujemy następujące wartości, które należy porównać z nieprzetworzonymi momentami tej symulacji:

 k    mgf           simulation/k!
 2    0.09375       0.09424920
 4    0.00732422    0.00740436
 6    0.00053406    0.00054128
 8    0.00003755    0.00003674
10    2.58 e-6      2.17 e-6

Jak można się spodziewać, wysokie momenty symulacji zaczną odchodzić od momentów podanych przez mgf; ale przynajmniej do dziesiątej chwili panuje doskonała zgoda.

---

Nawiasem mówiąc, kiedy $n=2$ rozkład jest dwuwykładniczy.

---

Aby poradzić sobie z ogólnym przypadkiem, zacznij od zauważenia, że ​​iloczyn wewnętrzny jest obiektem niezależnym od współrzędnych. Możemy zatem przyjąć główne kierunki (wektory własne)$\Sigma$jako współrzędne. W tych współrzędnych iloczyn wewnętrzny jest sumą niezależnych iloczynów niezależnych zmiennych normalnych, przy czym każdy składnik jest rozłożony z wariancją równą powiązanej wartości własnej. A zatem niech będą niezerowe wartości własne$\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_d^2$ (z $0 \le d \le n$), mgf musi być równe

$$\left(\prod_{i=1}^d (1 - \omega^2\sigma_i^4)\right)^{-1/2}.$$

Aby potwierdzić, że nie popełniłem błędu w tym rozumowaniu, opracowałem przykład gdzie $\Sigma$ jest matrycą

$$\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \\ \frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{4} \\ -\frac{1}{8} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array} \right)$$

i obliczył, że jego wartości własne są

$$\left(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \sigma_3^2\right) = \left(\frac{1}{16} \left(17+\sqrt{65}\right),\frac{1}{16} \left(17-\sqrt{65}\right),\frac{3}{8}\right)\approx \left(1.56639,0.558609,0.375\right).$$

Możliwe było obliczenie pliku PDF poprzez liczbową ocenę transformaty Fouriera funkcji charakterystycznej (wyprowadzonej ze wzoru mgf podanego tutaj): wykres tego pliku PDF pokazano na poniższym rysunku jako czerwoną linię. W tym samym czasie wygenerowałem$10^6$ iid zmienia się $X_i$ od normalności$(0,\Sigma)$ dystrybucja i jeszcze jedno $10^6$ iid zmienia się $Y_i$ w ten sam sposób i obliczyłem $10^6$ produkty kropkowe $X_i\cdot Y_i$. Wykres pokazuje histogram tych produktów punktowych (pomijając niektóre z najbardziej ekstremalnych wartości - zakres pochodzi z$-12$ do $15$):

Tak jak poprzednio umowa jest doskonała. Co więcej, chwile dobrze pasują do ósmej, a nawet do dziesiątej:

 k    mgf           simulation/k!
 2     1.45313       1.45208
 4     2.59009       2.59605
 6     5.20824       5.29333
 8    11.0994       11.3115
10    24.4166       22.9982

---

Uzupełnienie

(Dodano 9 sierpnia 2013 r.)

$f_{n,\sigma}$jest przykładem rozkładu wariancji-gamma , który pierwotnie zdefiniowano jako „normalna średnia wariancja-mieszanina, gdzie gęstość mieszania jest rozkładem gamma”. Ma standardową lokalizację ($0$), parametr asymetrii wynoszący $0$ (jest symetryczny), parametr skali $\sigma^2$i parametr kształtu $n/2$ (zgodnie z parametryzacją Wikipedii).