Gęstość robotów wykonujących losowy spacer na nieskończonym losowym wykresie geometrycznym

Rozważmy nieskończony losowy wykres geometryczny, w którym położenia węzłów są zgodne z procesem punktu Poissona o gęstości a krawędzie są umieszczone między węzłami bliższymi niż . Dlatego długość krawędzi jest zgodna z następującym plikiem PDF: $\rho$ $d$

f (l) = {\begin{cases} \frac{2 l}{d^{2}} l \leq d \\ 0 l > d \end{cases}

$f(l)= \begin{cases} \frac{2 l}{d^2} \;\quad l \le d \\ 0 \qquad\; l > d \end{cases}$

Na powyższym wykresie rozważ węzły wewnątrz okręgu o promieniu wyśrodkowane na początku. Załóżmy, że w czasie umieszczamy małego robota wewnątrz każdego z wymienionych węzłów. Oznacza to, że gęstość robotów na płaszczyźnie jest określona przez: $r$ $t=0$

gdzieto odległość od początku. Poniższy rysunek pokazuje przykład początkowego umiejscowienia robotów.

g (l) = {\begin{cases} ρ l \leq r \\ 0 l > d \end{cases}

$g(l)= \begin{cases} \rho \quad l \le r \\ 0 \quad\; l > d \end{cases}$

l

$l$

przykład

Za każdym razem roboty losowo trafiają do jednego z sąsiadów.

$t>0$ $t \rightarrow \infty$

Przepraszam chłopaki, nie jestem matematykiem. Daj mi znać, jeśli coś jest niejasne.

— Hel
źródło

Wyszukaj książki Wolfganga Woessa jako redaktora lub autora. Najnowsza kolekcja: Losowe spacery, granice i widma. Birkhauser, 2011. Od 2000 (Cambridge Univ.Press): Losowe spacery po nieskończonych wykresach i grupach.

— Deer Hunter,

Dziękuję, Łowco. Rzuciłem okiem na jego książkę z 2011 roku, ale nie mogłem znaleźć nic związanego. Nie mam teraz dostępu do 2000, ale sprawdzę go, kiedy go znajdę. Daj mi znać, jeśli pamiętasz coś bardziej szczegółowego z książek.

— Helium

Oto początek.

$r = d/2$

$t$ $n = 1 + 4t + 2t(t-1)$ $t$ $A_t$ $n \times n$ $n$ $e_{i,t} \in \{0,1\}^n$ $0$ $1$ $i$ $A_t$ $i$ $t$ $e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$ $A^t = A \times A \cdots \times A$ $A$ $t$ $\cal L_1$

$t$ $r(t+1)$ $0$ $t$ $q$ $t$ $(x,y)$ $t$ $f_t(x,y)$ $f_t$ $r$ $X$

$U$ $M$ $MU + X$

$X$

— użytkownik1448319
źródło

t

$t$

t = 0

$t = 0$

t = 1

$t = 1$

t = 2

$t = 2$

t^{2}

$t^2$

n = 1 + 4 t + 2 (t - 1)^{2}

$n = 1 + 4t + 2(t-1)^2$

n = 1 + 4 t + 2 t (t - 1) = 1 + 2 t + 2 t^{2}

$n= 1 + 4t + 2t(t-1) = 1 + 2t + 2t^2$

1

$1$

+ 4 t

$+4t$

+ 2 t (t - 1)

$+2t(t-1)$

t = 2

$t=2$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0), (2, 0)

$(1,0), (2, 0)$

(1, 1)

$(1,1)$

(1, 0)

$(1,0)$

Z^{2}

$\mathbb Z^2$

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

A_{t}

$A_t$

$n=1+4t+2(t−1)^2$ $t$