Który jest największy z grupy normalnie rozmieszczonych zmiennych losowych?

14

Mam zmienne losowe . ma rozkład normalny ze średnią i wariancją . Wartości rv są zwykle rozkładane ze średnią i wariancją $X_0,X_1,\dots,X_n$ $X_0$ $\mu>0$ $1$ $X_1,\dots,X_n$ $0$ $1$ . Wszystko jest od siebie niezależne.

Niech oznacza zdarzenie, w którym jest największym z nich, tj. . Chcę obliczyć lub oszacować . Szukam wyrażenia dla , w funkcji $E$ $X_0$ $X_0 > \max(X_1,\dots,X_n)$ $\Pr[E]$ $\Pr[E]$ $\mu,n$ lub rozsądnego oszacowania lub przybliżenia dla . $\Pr[E]$

W mojej aplikacji jest stałe ( ) i chcę znaleźć najmniejszą wartość dla która sprawia, że $n$ $n=61$ $\mu$ $\Pr[E] \ge 0.99$ , ale ciekawi mnie również ogólne pytanie.

probability normal-distribution

— DW
źródło

Jak duży jest ? Powinny istnieć dobre wyrażenia asymptotyczne oparte na teorii dużej próby.

n

$n$

— whuber

@ whuber, dzięki! Zredagowałem pytanie: w moim przypadku . Nawet jeśli nie jest wystarczająco duże, aby liczyć się jako duże, jeśli istnieją dobre asymptotyczne szacunki w przypadku, gdy jest duże, byłoby to interesujące.

n = 61

$n=61$

n = 61

$n=61$

n

$n$

— DW

5

Korzystając z integracji numerycznej, .

μ \approx 4.91912496

$\mu \approx 4.91912496$

— whuber

14

Obliczenia takich prawdopodobieństw zostały dogłębnie zbadane przez inżynierów komunikacyjnych pod nazwą -ary ortogonalna sygnalizacja, gdzie model jest taki, że jeden z równej energii jest wysyłany równie prawdopodobne sygnały ortogonalne, a odbiornik próbuje zdecydować, który z nich jest transmitowany, badając wyjścia filtrów dopasowanych do sygnałów. Uwarunkowane tożsamością transmitowanego sygnału, wyjściowe próbki dopasowanych filtrów są (warunkowo) niezależnymi zmiennymi losowymi normalnymi zmiennymi jednostkowymi. Wyjściowa próbka filtra dopasowana do przesyłanego sygnału jest losową zmienną podczas gdy wyjściowe wartości wszystkich pozostałych filtrów to $M$ $M$ $M$ $N(\mu,1)$ $N(0,1)$ zmienne losowe.

Warunkowego prawdopodobieństwo prawidłowej decyzji (co w tym kontekście jest zdarzenie ) uwarunkowany jest gdzie $C = \{X_0 > \max_i X_i\}$ $X_0 = \alpha$

P (C ∣ X_{0} = α) = \prod_{i = 1}^{n} P {X_{i} < α ∣ X_{0} = α} = {[Φ (α)]}^{n}

$P(C \mid X_0 = \alpha) = \prod_{i=1}^n P\{X_i < \alpha \mid X_0 = \alpha\} = \left[\Phi(\alpha)\right]^n$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$ jest skumulowanym rozkładem prawdopodobieństwa standardowej normalnej zmiennej losowej, a zatem bezwarunkowe prawdopodobieństwo wynosi

gdzie

jest standardową funkcją gęstości normalnej. Nie ma wyrażenia w postaci zamkniętej dla wartości tej całki, którą należy oceniać liczbowo. Inżynierowie są również zainteresowani zdarzeniem uzupełniającym - że decyzja jest błędna - ale nie lubią tego obliczać jako

ponieważ to wymaga bardzo starannej oceny całki dla

P (C) = \int_{- \infty}^{\infty} P (C ∣ X_{0} = α) ϕ (α - μ) d α = \int_{- \infty}^{\infty} {[Φ (α)]}^{n} ϕ (α - μ) d α

$P(C) = \int_{-\infty}^{\infty}P(C \mid X_0 = \alpha) \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha = \int_{-\infty}^{\infty}\left[\Phi(\alpha)\right]^n \phi(\alpha-\mu)\,\mathrm d\alpha$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = P (E) = 1 - P (C)

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = P(E) = 1-P(C)$

P (C)

$P(C)$ z dokładnością do wielu cyfr znaczących, a taka ocena jest zarówno trudna, jak i czasochłonna. Zamiast tego całka dla

może być całkowana przez części, aby uzyskać

1 - P (C)

$1-P(C)$

Całka ta jest łatwiejsza do oszacowania numerycznego, a jej wartość w funkcji

jest wykreślona i zestawiona w tabelach (choć niestety tylko dla

) w rozdziale 5Inżynierii systemów telekomunikacyjnychLindsey i Simon, Prentice-Hall 1973, Dover Press 1991 Alternatywnie, inżynierowie używajązwiązku związanegolub nierówności Bonferroniego

P {X_{0} < max_{i} X_{i}} = \int_{- \infty}^{\infty} n {[Φ (α)]}^{n - 1} ϕ (α) Φ (α - μ) d α .

$P\{X_0 < \max_i X_i\} = \int_{-\infty}^{\infty} n \left[\Phi(\alpha)\right]^{n-1}\phi(\alpha) \Phi(\alpha - \mu)\,\mathrm d\alpha.$

μ

$\mu$

n \leq 20

$n \leq 20$

gdzie

\begin{aligned} P {X_{0} < max_{i} X_{i}} & = P {(X_{0} < X_{1}) \cup (X_{0} < X_{2}) \cup \dots \cup (X_{0} < X_{n})} \\ \leq \sum_{i = 1}^{n} P {X_{0} < X_{i}} \\ = n Q (\frac{μ}{\sqrt{2}}) \end{aligned}

$\begin{align*} P\{X_0 < \max_i X_i\} &= P\left\{(X_0 < X_1)\cup (X_0 < X_2) \cup \cdots \cup (X_0 < X_n)\right\}\\ &\leq \sum_{i=1}^{n}P\{X_0 < X_i\}\\ &= nQ\left(\frac{\mu}{\sqrt{2}}\right) \end{align*}$

jest uzupełniającą funkcją skumulowanego rozkładu normalnego.

Q (x) = 1 - Φ (x)

$Q(x) = 1-\Phi(x)$

Z granicy związku widzimy, że pożądana wartość dla jest ograniczona powyżej o $0.01$ $P\{X_0 < \max_i X_i\}$ $60\cdot Q(\mu/\sqrt{2})$ $0.01$ $\mu = 5.09\ldots$ $\mu = 4.919\ldots$

$M$

— Dilip Sarwate
źródło

4

Formalna odpowiedź:

Rozkład prawdopodobieństwa (gęstość) dla maksimum zmiennych iid wynosi: $N$ $p_N(x)= N p(x) \Phi^{N-1}(x)$ $p$ $\Phi$ jest funkcją rozkładu skumulowanego.

$X_0$ $N-1$ $P(E) = (N-1) \int_{-\infty}^{\infty} \int_y^{\infty} p(x_0) p(y) \Phi^{N-2}(y) dx_0 dy$

Konieczne może być przeanalizowanie różnych przybliżeń, aby w sposób praktyczny poradzić sobie z tym w przypadku konkretnego zastosowania.

— Dave
źródło

6

+1 W rzeczywistości podwójna całka upraszcza się w jedną całkę od tego czasu

dając

\int_{y}^{\infty} p (x_{0}) d x_{0} = 1 - Φ (y - μ)

$\int_y^\infty p(x_0)\,\mathrm dx_0 = 1 - \Phi(y-\mu)$

P (E) = 1 - (N - 1) \int_{- \infty}^{\infty} Φ^{N - 2} (y) p (y) Φ (y - μ) d y

$P(E) = 1 - (N-1)\int_{-\infty}^\infty \Phi^{N-2}(y)p(y)\Phi(y-\mu)\,\mathrm dy$