Współczynnik ujemny w uporządkowanej regresji logistycznej

Załóżmy, że mamy porządkową odpowiedź $y:\{\text{Bad, Neutral, Good}\} \rightarrow \{1,2,3\}$ i zbiór zmiennych $X:=[x_1,x_2,x_3]$ który naszym zdaniem wyjaśni $y$ . Następnie wykonujemy uporządkowaną regresję logistyczną $X$ (macierz projektowa) na $y$ (odpowiedź).

Załóżmy, że szacowany współczynnik $x_1$ , to nazwać p 1 , w uporządkowane regresji logistycznej - 0,5 . Jak interpretować iloraz szans (OR) e - 0,5 = 0,607 ?$\hat{\beta}_1$$-0.5$$e^{-0.5} = 0.607$

Czy powiem „dla wzrostu o 1 jednostkę $x_1$ , ceteris paribus, szanse na zaobserwowanie $\text{Good}$ są $0.607$ razy większe niż prawdopodobieństwo zaobserwowania $\text{Bad}\cup \text{Neutral}$ , a dla tej samej zmiany $x_1$ szanse na zaobserwowanie $\text{Neutral} \cup \text{Good}$ wynoszą $0.607$ razy szanse na zaobserwowanie $\text{Bad}$ ”?

Nie mogę znaleźć żadnych przykładów negatywnej interpretacji współczynników w moim podręczniku lub Google.

Jesteś na dobrej drodze, ale zawsze spójrz do dokumentacji używanego oprogramowania, aby zobaczyć, który model jest odpowiedni. Załóżmy sytuację z kategorycznie zależną zmienną z uporządkowanymi kategoriami 1 , … , g , … , k i predyktorami X 1 , … , X j , … , X p .$Y$$1, \ldots, g, \ldots, k$$X_{1}, \ldots, X_{j}, \ldots, X_{p}$

„Na wolności” można napotkać trzy równoważne opcje do napisania teoretycznego modelu proporcjonalnych kursów o różnych implikowanych znaczeniach parametrów:

1. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
2. $\text{logit}(p(Y \leqslant g)) = \ln \frac{p(Y \leqslant g)}{p(Y > g)} = \beta_{0_g} - (\beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p}) \quad(g = 1, \ldots, k-1)$
3. $\text{logit}(p(Y \geqslant g)) = \ln \frac{p(Y \geqslant g)}{p(Y < g)} = \beta_{0_g} + \beta_{1} X_{1} + \dots + \beta_{p} X_{p} \quad(g = 2, \ldots, k)$

(Modele 1 i 2 mają takie ograniczenie, że w oddzielnych binarnych regresjach logistycznych β j nie różnią się w zależności od g , a β 0 1 < … < β 0 g < … < β 0 k - 1 , model 3 ma to samo ograniczenie o p j , i wymaga, że β 0 2 > ... > β 0 g > ... > β 0 k )$k-1$$\beta_{j}$$g$$\beta_{0_1} < \ldots < \beta_{0_g} < \ldots < \beta_{0_k-1}$$\beta_{j}$$\beta_{0_2} > \ldots > \beta_{0_g} > \ldots > \beta_{0_k}$

• We wzorze 1, a pozytywne oznacza, że wzrost czynnikiem X J wiąże się ze wzrostem kursów dla niższej kategorii w Y .$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• Model 1 jest nieco sprzeczny z intuicją, dlatego model 2 lub 3 wydaje się być preferowanym oprogramowaniem. Tutaj pozytywny oznacza, że wzrost predyktora X j jest związana ze zwiększonym kursów dla wyższych kategorii w Y .$\beta_{j}$$X_{j}$$Y$
• Modele 1 i 2 prowadzą do tych samych szacunków dla , ale ich szacunki dla p j mają przeciwne znaki.$\beta_{0_g}$$\beta_{j}$
• Modele 2 i 3 prowadzą do tych samych oszacowań dla , ale ich oszacowania dla β 0 g mają przeciwne znaki.$\beta_{j}$$\beta_{0_g}$

Zakładając, że twoje oprogramowanie korzysta z modelu 2 lub 3, możesz powiedzieć „przy wzroście o 1 jednostkę , ceteris paribus, przewidywane szanse na zaobserwowanie„ Y = dobry ”vs. zaobserwowanie„ Y = neutralny LUB zły ”zmiana o współczynnik e β 1 = 0,607 . „a także” ze wzrostem 1 jednostka w X 1 , przy pozostałych warunkach równych, gdy przewidywane szans zaobserwowania « Y = dobre lub neutralny » w porównaniu z obserwacji « strony Y = złych zmiana» o współczynnik e $X_1$$Y = \text{Good}$$Y = \text{Neutral OR Bad}$$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$$X_1$$Y = \text{Good OR Neutral}$$Y = \text{Bad}$. ”Zauważ, że w przypadku empirycznym mamy tylko przewidywane szanse, a nie rzeczywiste.$e^{\hat{\beta}_{1}} = 0.607$

Oto kilka dodatkowych ilustracji dla modelu 1 z kategoriami . Po pierwsze, założenie modelu liniowego dla logarytmów skumulowanych o proporcjonalnych szansach. Po drugie, implikowane prawdopodobieństwa zaobserwowania co najwyżej kategorii g . Prawdopodobieństwa są zgodne z funkcjami logistycznymi o tym samym kształcie. $k = 4$$g$

Dla samych prawdopodobieństw kategorii przedstawiony model implikuje następujące uporządkowane funkcje:

PS O ile mi wiadomo, model 2 jest używany w SPSS, a także w funkcjach R MASS::polr()i ordinal::clm(). Model 3 jest używany w funkcjach R rms::lrm()i VGAM::vglm(). Niestety nie wiem o SAS i Stacie.