Czy są jakieś rozkłady inne niż Cauchy'ego, dla których średnia arytmetyczna próbki ma ten sam rozkład?

Jeśli podąża za rozkładem Cauchy'ego, to również ma dokładnie taki sam rozkład jak ; zobacz ten wątek . $X$ $Y = \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ $X$

Czy ta właściwość ma nazwę?
Czy istnieją inne dystrybucje, w przypadku których jest to prawdą?

EDYTOWAĆ

Inny sposób zadawania tego pytania:

niech będzie zmienną losową o gęstości prawdopodobieństwa . $X$ $f(x)$

pozwolić , gdzie oznacza obserwację-ty . $Y=\frac 1 n\sum_{i=1} ^n X_i$ $X_i$ $X$

$Y$ samo można uznać jako zmienną losową, bez klimatyzacji na jakichkolwiek wartości określonych w . $X$

Jeżeli zgodne z rozkładem Cauchy'ego, to funkcja gęstości prawdopodobieństwa wynosi $X$ $Y$ $f(x)$

Czy istnieją inne rodzaje (nietrywialnych *) funkcji gęstości prawdopodobieństwa dla które powodują, że ma funkcję gęstości prawdopodobieństwa ? $f(x)$ $Y$ $f(x)$

* Jedynym trywialnym przykładem, jaki mogę wymyślić, jest delta Diraca. tj. nie zmienna losowa.

— Chechy Levas
źródło

Twój tytuł nie ma sensu, ponieważ „oczekiwana wartość próbki” to liczba. Czy zamiast tego masz na myśli średnią arytmetyczną próbki? Pytanie jest również niejasne: przez „dystrybucję” masz na myśli konkretną dystrybucję, czy masz na myśli - jak sugeruje termin „Cauchy” - rodzinę dystrybucji? To nie jest drobna subtelność: odpowiedź zmienia się całkowicie w zależności od tego, co masz na myśli. Zmodyfikuj swój post, aby go wyjaśnić.

— whuber

@ Whuber dodałem drugą część pytania, która, mam nadzieję, zawęzi zakres możliwych interpretacji.

— Chechy Levas,

Dziękuję Ci; to wszystko usuwa. Istnieją jednak różne odpowiedzi w zależności od tego, czy naprawisz

czy też chcesz zachować ten wynik dla wszystkich

Jeśli to drugie, stan na cf lub cgf jest poważny i prowadzi do gotowego rozwiązania. Jeśli jest to pierwsze, potencjalnie istnieją dodatkowe rozwiązania.

n

$n$

n .

$n.$

— whuber

Myślałem o wszystkich

ale jeśli ktoś chciałby również przedstawić analizę stałej

, byłoby to mile widziane.

n

$n$

n

$n$

— Chechy Levas,

To nie jest tak naprawdę odpowiedź, ale przynajmniej nie wydaje się łatwe stworzenie takiego przykładu ze stabilnej dystrybucji. Musielibyśmy wyprodukować rv, którego charakterystyczna funkcja jest taka sama jak jego średniej.

Zasadniczo, dla losowania iid, współczynnik średniej wynosi

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = [ϕ_{X} (t / n)]^{n}

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=[\phi_X(t/n)]^n$

ϕ_{X}

$\phi_X$

ϕ_{X} (t) = \exp {- | c t |^{α} (1 - i β sgn (t) Φ)},

$\phi_X(t)=\exp\{-|ct|^\alpha(1-i\beta \text{sgn}(t)\Phi)\},$

Φ = {\begin{cases} \tan (\frac{π α}{2}) & α \neq 1 \\ - \frac{2}{π} \log | t | & α = 1 \end{cases}

$\Phi=\begin{cases}\tan\left(\frac{\pi\alpha}{2}\right)&\alpha\neq1\\-\frac{2}{\pi}\log|t|&\alpha=1\end{cases}$

α = 1

$\alpha=1$

β = 0

$\beta=0$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

c > 0

$c>0$ .

Ogólnie rzecz biorąc, Aby uzyskać , wygląda na to, że , więc ale

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = \exp {- n {| c \frac{t}{n} |}^{α} (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) Φ)},

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|^\alpha\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\Phi\right)\right\},$

ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) = ϕ_{X} (t)

$\phi_{\bar{X}_n}(t)=\phi_X(t)$

α = 1

$\alpha=1$

\begin{array}{rcl} ϕ_{{\bar{X}}_{n}} (t) & = & \exp {- n | c \frac{t}{n} | (1 - i β sgn (\frac{t}{n}) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))} \\ = & \exp {- | c t | (1 - i β sgn (t) (- \frac{2}{π} \log | \frac{t}{n} |))}, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_{\bar{X}_n}(t)&=&\exp\left\{-n\left|c\frac{t}{n}\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(\frac{t}{n}\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}\\ &=&\exp\left\{-\left|ct\right|\left(1-i\beta \text{sgn}\left(t\right)\left(-\frac{2}{\pi}\log\left|\frac{t}{n}\right|\right)\right)\right\}, \end{eqnarray*}$

\log | \frac{t}{n} | \neq \log | t |

$\log\left|\frac{t}{n}\right|\neq\log\left|t\right|$

— Christoph Hanck
źródło

Czy można więc powiedzieć, że na podstawie przeprowadzonej analizy Cauchy jest jedynym rozwiązaniem dla a = 1?

— Chechy Levas,

Takie jest moje wrażenie na podstawie tych wyników, ale jestem całkiem pewien, że są tu ludzie bardziej kompetentni, niż stabilni.

— Christoph Hanck,

Nie musisz odwoływać się do teorii stabilnych rozkładów. Niech będzie cgf, twoje równanie to dlaPonieważ jest funkcją nawet ciągłą i zerową u początku, to natychmiast implikuje, że zarodek u początku jest

ψ = \log ϕ

$\psi=\log \phi$

ψ (t / n) = ψ (t) / n

$\psi(t/n) = \psi(t)/n$

n = 1, 2, 3, \dots .

$n=1,2,3,\ldots.$

ψ

$\psi$

ψ

$\psi$

- | c t | .

$-|ct|.$

— whuber

Czy to powinna być zaakceptowana odpowiedź? Oprócz jedyny sposób, w jaki mogę to rozwiązać, to , co (myślę) to delta Diraca.

α = 1

$\alpha = 1$

α = 0

$\alpha = 0$

— Chechy Levas,