Dowód tego, że funkcje generujące moment jednoznacznie określają rozkłady prawdopodobieństwa

Tekst Wackerly i wsp. Stwierdza, że to twierdzenie „Niech $m_x(t)$ i $m_y(t)$ oznaczają odpowiednio funkcje generujące momenty zmiennych losowych X i Y. Jeśli istnieją obie funkcje generujące moment i $m_x(t) = m_y(t)$ dla wszystkich wartości t, wówczas X i Y mają taki sam rozkład prawdopodobieństwa. ” bez dowodu, że jest poza zakresem tekstu. Scheaffer Young ma również to samo twierdzeniebez dowodu. Nie mam kopii Caselli, ale wyszukiwanie książek w Google nie znalazło w niej twierdzenia.

Tekst Guta wydaje się mieć zarys dowodu , ale nie odnosi się do „dobrze znanych wyników”, a także wymaga znajomości innego wyniku, którego dowodu również nie przedstawiono.

Czy ktoś wie, kto to udowodnił i czy dowód jest dostępny online w dowolnym miejscu? W przeciwnym razie, jak wypełnić szczegóły tego dowodu?

W przypadku, gdy nie zostanie mi zadane, nie jest to pytanie o pracę domową, ale mogę sobie wyobrazić, że jest to czyjaś praca domowa. Wziąłem sekwencję kursów na podstawie tekstu Wackerly i od dłuższego czasu zastanawiam się nad tym dowodem. Pomyślałem więc, że czas zapytać.

Ogólny dowód na to można znaleźć w Feller (Wprowadzenie do teorii prawdopodobieństwa i jej zastosowania, t. 2) . Jest to problem inwersji związany z teorią transformacji Laplace'a. Czy zauważyłeś, że mgf jest uderzająco podobne do transformaty Laplace'a ?. Aby użyć transformacji Laplace'a, możesz zobaczyć Widder (Calcus Vol I) .

Dowód specjalnego przypadku:

Załóżmy, że X i Y są losowymi zmiennymi, które przyjmują tylko możliwe wartości w { }. Ponadto załóżmy, że X i Y mają takie same mgf dla wszystkich t: n ∑ x = 0 e t x f X ( x ) = n ∑ y = 0 e t y f Y ( y ) Dla uproszczenia, s = e t zdefiniujemy c i = $0, 1, 2,\dots, n$

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$$ $s = e^t$ dla i = 0 , 1 , … , n .$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$$i = 0, 1,\dots,n$

Teraz ⇒ n ∑ x = 0 s x f X ( x ) - n ∑ y = 0 s y f Y ( y ) = 0 ⇒ n

$$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$$ $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$$ $$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$$ Powyższe jest po prostu wielomianem ws ze współczynnikami c 0 , c 1 , … , c n . Jedynym sposobem, w jaki może być zerowy dla wszystkich wartości s, jest, jeśli c 0 = c 1 = ⋯ = c n = 0 , więc mamy to, że 0 = c i = f X ( i ) - f Y ( i ) dla i = 0 , 1 , $$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$$ $c_0, c_1,\dots,c_n$$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$ .$i=0, 1,\dots,n$

$f_X(i)=f_Y(i)$$i=0,1,\dots,n$

$X$$Y$$X$$Y$

Omawiane twierdzenie jest podstawowym wynikiem teorii prawdopodobieństwa / miary. Dowody bardziej prawdopodobne byłyby w książkach na temat prawdopodobieństwa lub teorii statystycznej. Znalazłem analogiczny wynik dla funkcji charakterystycznych podanych w Hoel Port i Stone pp 205-208

Tucker pp 51–53

i Chung s. 151-155 To jest wydanie trzecie. Mam drugie wydanie i odnoszę się do numerów stron w drugim wydaniu opublikowanym w 1974 roku.

Dowód na mgf był trudniejszy do znalezienia, ale można go znaleźć w książce Billingleya „Prawdopodobieństwo i miara” s. 342–345. Na stronie 342 Twierdzenie 30.1 zawiera twierdzenie, które rozwiązuje problem momentu. Na stronie 345 Billingsley stwierdza wynik, że jeśli miara prawdopodobieństwa ma funkcję generującą moment M (s) zdefiniowaną w przedziale otaczającym 0, wówczas hipoteza dla Twierdzenia 30.1 jest spełniona, a zatem miara jest określana przez jej momenty. Ale te momenty s są określone przez M (s). Stąd miarą jest funkcja generowania momentu, jeśli M (s) istnieje w sąsiedztwie 0. Więc ta logika wraz z dowodem, który podaje dla Twierdzenia 30.1, potwierdza wynik. Billingsley komentuje również, że rozwiązanie do ćwiczenia 26.

Oznacz funkcję generującą moment$X$ przez $M_X(t)=Ee^{tX}$.

Twierdzenie o wyjątkowości. Jeśli istnieje$\delta>0$ takie, że $M_X(t) = M_Y(t) < \infty$ dla wszystkich $t \in (-\delta,\delta)$, następnie $F_X(t) = F_Y(t)$ dla wszystkich $t \in \mathbb{R}$.

Aby udowodnić, że funkcja generowania momentu determinuje rozkład, istnieją co najmniej dwa podejścia:

• Aby pokazać tę skończoność $M_X$ na $(-\delta,\delta)$ implikuje, że chwile $X$ nie zwiększaj zbyt szybko, aby to $F_X$ jest określony przez $(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$, które z kolei są określone przez $M_X$. This proof can be found in Section 30 of Billingsley, P. Probability and Measure.

• To show that $M_X$ is analytic and can be extended to $(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$, so that $M_X(z)=Ee^{zX}$, so in particular $M_X(it)=\varphi_X(t)$ for all $t\in\mathbb{R}$, and then use the fact that $\varphi_X$ determines $F_X$. For this approach, see Curtiss, J. H. Ann. Math. Statistics 13:430-433 and references therein.

At undergraduate level, almost every textbook works with the moment generating function and states the above theorem without proving it. It makes sense, because the proof requires far more advanced mathematics than undergraduate level allows.

At the point when students have all the tools needed in the proof, they also have the maturity to work with the characteristic function $\varphi_X(t)=Ee^{itX}$ instead. Almost every graduate textbook takes this path, they prove that the characteristic function determines the distribution and basically ignore moment generating functions altogether.