Oczekiwana wartość i wariancja funkcji śledzenia

Dla zmiennych losowych i dodatniej macierzy : Czy istnieje uproszczone wyrażenie dla oczekiwanej wartości, i wariancja , ? Należy pamiętać, że nie jest zmienną losową. $X \in \mathbb{R}^h$ $A$ $\mathop {\mathbb E}[Tr(X^TAX)]$ $Var[Tr(X^TAX)]$ $A$

— karawan
źródło

Ponieważ jest skalarem, więc . $X^TAX$

Tr (X^{T} A X) = X^{T} A X = Tr (A X X^{T})

$\text{Tr}(X^TAX)= X^TAX = \text{Tr}(AXX^T)$

E (X^{T} A X) = E (Tr (A X X^{T})) = Tr (E (A X X^{T})) = Tr (A E (X X^{T}))

$\text{E}(X^TAX) = \text{E}(\text{Tr}(AXX^T)) = \text{Tr}(\text{E} (A XX^T)) = \text{Tr}(A\text{E}(XX^T))$

Wykorzystaliśmy tutaj, że ślad produktu jest niezmienny w cyklicznych permutacjach czynników, i że ślad jest operatorem liniowym, więc dojeżdża z oczekiwaniem. Wariancja jest znacznie bardziej skomplikowane obliczenia, które również potrzebują trochę wyższe momenty . Obliczenia te można znaleźć w Seber: „Analiza regresji liniowej” (Wiley) $X$

— kjetil b halvorsen
źródło

Dlaczego ?

T r (X^{T} A X) = X^{T} A X

$Tr(X^T AX) = X^T AX$

— Aqqqq

Ponieważ jest liczbą

X^{T} A X

$X^TAX$

— kjetil b halvorsen