Michael i Fraijo zasugerowali, że po prostu sprawdzenie, czy wartość parametru interesującego była zawarta w jakimś wiarygodnym regionie, było bayesowskim odpowiednikiem odwracania przedziałów ufności. Na początku byłem trochę sceptyczny, ponieważ nie było dla mnie oczywiste, że ta procedura naprawdę zakończyła się testem Bayesa (w zwykłym tego słowa znaczeniu).
Jak się okazuje, robi to - przynajmniej jeśli chcesz zaakceptować pewien rodzaj funkcji utraty. Ogromne podziękowania dla Zen , który dostarczył odniesienia do dwóch artykułów, które ustanawiają związek między regionami HPD i testowaniem hipotez:
H0:θ∈Θ0={θ0}andH1:θ∈Θ1=Θ∖Θ0,
Θ
Pereira i Stern zaproponowali metodę testowania wspomnianych hipotez bez konieczności stawiania wcześniejszych prawdopodobieństw na iΘ0Θ1 .
Niech oznacza funkcję gęstości i zdefiniujπ(⋅)θ
T(x)={θ:π(θ|x)>π(θ0|x)}.
Oznacza to, że jest regionem HPD o wiarygodności .T(x)P(θ∈T(x)|x)
Test Pereira-Sterna odrzuca gdy jest „małe” ( powiedzmy ). Dla unimodalnego a posteriori oznacza to, że znajduje się daleko w ogonach a posteriori, co czyni to kryterium nieco podobnym do używania wartości p. Innymi słowy, jest odrzucany na poziomie wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest zawarty w regionie HPD .Θ0P(θ∉T(x)|x)<0.05θ0Θ05 %95 %
Niech funkcja testowa będzie równa jeśli zostanie zaakceptowany, a jeśli zostanie odrzucony. Madruga i in. zaproponowano funkcję straty
z .φ1Θ00Θ0
L(θ,φ,x)={a(1−I(θ∈T(x)),b+cI(θ∈(T(x)),if φ(x)=0if φ(x)=1,
a,b,c>0
Minimalizacja oczekiwanej straty prowadzi do testu Pereira-Sterna, gdzie jest odrzucany, jeśliΘ0P(θ∉T(x)|x)<(b+c)/(a+c).
Jak dotąd wszystko jest w porządku. Test Pereira-Sterna jest równoważny ze sprawdzeniem, czy znajduje się w regionie HPD i czy funkcja straty generuje ten test, co oznacza, że jest on oparty na teorii decyzji.θ0
Kontrowersyjna jest jednak to, że funkcja straty zależy odx . Chociaż takie funkcje strat pojawiły się w literaturze kilka razy, nie wydają się być ogólnie akceptowane jako bardzo rozsądne.
Więcej informacji na ten temat można znaleźć na liście artykułów cytujących Madruga i in. artykuł .
Aktualizacja październik 2012:
Nie byłem w pełni usatysfakcjonowany powyższą funkcją straty, ponieważ jej zależność od sprawia, że podejmowanie decyzji jest bardziej subiektywne, niż bym chciał. Spędziłem więcej czasu zastanawiając się nad tym problemem i ostatecznie napisałem krótką notatkę na ten temat, opublikowaną dziś na arXiv .x
Niech oznacza tylną funkcję kwantylu , taką że . Zamiast zestawów HPD bierzemy pod uwagę środkowy (równy) przedział . Aby przetestować przy użyciu tego przedziału, można uzasadnić teorię decyzyjną bez funkcji straty zależnej od .qα(θ|x)θP(θ≤qα(θ|x))=α(qα/2(θ|x),q1−α/2(θ|x))Θ0x
jest przeformułowanie problemu testowania hipotezy punkt-zero jako problemu trzech decyzji z wnioskami kierunkowymi. jest następnie testowany na obu i .Θ0={θ0}Θ0Θ−1={θ:θ<θ0}Θ1={θ:θ>θ0}
Niech funkcja testowa jeśli zaakceptujemy (zwróć uwagę, że ta notacja jest przeciwieństwem tej stosowanej powyżej!). Okazuje się, że pod ważoną funkcją utraty
Bayes test polega na odrzuceniu jeśli nie znajduje się w środkowym przedziale.φ=iΘi0−1
L2(θ,φ)=⎧⎩⎨0,α/2,1,if θ∈Θi and φ=i,i∈{−1,0,1},if θ∉Θ0 and φ=0,if θ∈Θi∪Θ0 and φ=−i,i∈{−1,1},
Θ0θ0
Wydaje mi się to dość rozsądną funkcją utraty. Omawiam tę stratę, stratę Madruga-Esteves-Wechsler i testy z wykorzystaniem wiarygodnych zestawów w dalszej części manuskryptu na arXiv.