Co wyższe, lub

Miałem więc test prawdopodobieństwa i tak naprawdę nie mogłem odpowiedzieć na to pytanie. Poprosił tylko o coś takiego:

„Biorąc pod uwagę, że jest zmienną losową, 0 , użyj poprawnej nierówności, aby udowodnić, co jest wyższe lub równe, E (X ^ 2) ^ 3 lub E (X ^ 3) ^ 2 .$X$$X$ $\geqslant$ $0$$E(X^2)^3$$E(X^3)^2$

Jedyną rzeczą, o której mogłem pomyśleć, była nierówność Jensena, ale tak naprawdę nie wiem, jak ją tutaj zastosować.

Rzeczywiście można to udowodnić nierównością Jensena.

Wskazówka : Zauważ, że dla funkcja jest wypukła w (tam, gdzie używasz założenia ). Następnie nierówność Jensena daje a dla jest to w inny sposób.$\alpha > 1$$x^{\alpha}$$\left[0, -\infty\right)$$X \ge 0$

Teraz zamień zmienne na coś porównywalnego i znajdź odpowiedni .$\alpha$

Nierówność Lapunowa (patrz: Casella i Berger, Wnioskowanie statystyczne 4.7.6):

Dla : $1 < r < s < \infty$

Dowód :

Według nierówności Jensena dla wypukłych :$\phi(x)$$\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Zastanów się , a następnie gdzie$\phi(Y) = Y^t$$(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$$Y = |X|^r$

Zastąp :$t = \frac{s}{r}$$(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

Ogólnie dla oznacza to:$X >0$

$\mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots$

Załóżmy, że X ma równomierny rozkład na [0,1], a następnie E (X ) = a więc E (X ) = i E ( X ) = więc E (X ) = . Więc w tym przypadku E (X ) > E (X ) . Czy potrafisz to uogólnić lub znaleźć kontrprzykład?$^2$$\frac{1}{3}$$^2$$^3$$\frac{1}{27}$$^3$$\frac{1}{4}$$^3$$^2$$\frac{1}{16}$$^3$$^2$$^2$$^3$