Błąd w normalnym przybliżeniu do jednolitego rozkładu sumy

Jedną naiwną metodą aproksymacji rozkładu normalnego jest dodanie razem może zmiennych losowych IID równomiernie rozmieszczonych na , a następnie recenter i przeskalowanie, w oparciu o centralne twierdzenie graniczne. ( Uwaga dodatkowa : Istnieją dokładniejsze metody, takie jak transformacja Boxa-Mullera ). Suma zmiennych losowych IID jest znana jako rozkład sumy jednolitej lub rozkład Irwina-Halla . $100$ $[0,1]$ $U(0,1)$

Jak duży jest błąd w przybliżeniu jednolitego rozkładu sumy przez rozkład normalny?

Ilekroć pojawia się ten rodzaj pytania w celu przybliżenia sumy zmiennych losowych IID, ludzie (w tym ja) przywołują twierdzenie Berry'ego-Esseena , które jest skuteczną wersją centralnego twierdzenia granicznego, biorąc pod uwagę, że istnieje trzeci moment:

| {fa}_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{do ρ}{σ^{3)} \sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{C \rho}{\sigma^3 \sqrt n}$

gdzie jest funkcją rozkładu skumulowanego dla przeskalowanej sumy zmiennych losowych IID, jest absolutnym trzecim centralnym momentem , jest odchyleniem standardowym, a jest absolutną stałą, którą można przyjąć jako a nawet . $F_n$ $n$ $\rho$ $E|(X-EX)^3|$ $\sigma$ $C$ $1$ $1/2$

To jest niezadowalające. Wydaje mi się, że oszacowanie Berry'ego-Esseena jest najbliższe ostrym rozkładom dwumianowym, które są dyskretne, z największym błędem przy $0$ dla symetrycznego rozkładu dwumianowego. Największy błąd występuje przy największym skoku. Jednak rozkład jednolitej sumy nie ma skoków.

Testy numeryczne sugerują, że błąd zmniejsza się szybciej niż $c/\sqrt n$ .

Przy zastosowaniu $C=1/2$ 1/2, oszacowanie Berry – Esseena wynosi

| F_{n} (x) - Φ (x) | \leq \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{32}}{\frac{1}{{\sqrt{12}}^{3}} \sqrt{n}} \approx \frac{0.650}{\sqrt{n}}

$|F_n(x) - \Phi(x)| \le \frac{\frac12 \frac{1}{32}}{\frac{1}{\sqrt{12}^3} \sqrt n} \approx \frac{0.650}{\sqrt n}$

który dla około , $n=10,20,40$ $0.205$ $0.145$ i , odpowiednio. Rzeczywiste maksymalne różnice dla wydają się wynosić odpowiednio około , i , które są znacznie mniejsze i wydają się spadać jako zamiast . $0.103$ $n=10, 20, 40$ $0.00281$ $0.00139$ $0.000692$ $c/n$ $c/\sqrt n$

— Douglas Zare
źródło

Jeśli rozszerzysz rozkład sumy w rozwinięciu Edgewortha , okaże się, że

równomiernie w

jako

(od rozkład równomierny jest symetryczny), więc

brzmi właściwie. Ze względu na

F_{n} (x) = Φ (x) + n^{- 1} g (x) + o (n^{- 1})

$F_n(x)=\Phi(x)+n^{-1}g(x)+o(n^{-1})$

x

$x$

n \to \infty

$n\rightarrow\infty$

c / n

$c/n$

o (n^{- 1})

$o(n^{-1})$ termin, który nie daje ci jednak

— granic

Dzięki, wygląda na to, że wyjaśnia również wzorzec

dla wielu innych dystrybucji.

c / n

$c/n$

— Douglas Zare

Niech będą iid zmiennych losowych i rozważą znormalizowaną sumę $U_1, U_2,\dots$ $\mathcal U(-b,b)$ i związana z tym norma

S_{n} = \frac{\sqrt{3} \sum_{i = 1}^{n} U_{i}}{b \sqrt{n}},

$S_n = \frac{\sqrt{3} \sum_{i=1}^n U_i}{b \sqrt{n}} \>,$

sup

$\sup$

gdzie

jest rozkładem

δ_{n} = sup_{x \in R} | F_{n} (x) - Φ (x) |,

$\delta_n = \sup_{x\in\mathbb R} |F_n(x) - \Phi(x)| \>,$

F_{n}

$F_n$

S_{n}

$S_n$

Lemat 1 ( Uspienski ): Następujące związana w ładowni. $\delta_n$

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} + \frac{1}{π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} \exp (- π^{2} n / 24) .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} + \frac{1}{\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} \exp(-\pi^2 n / 24) \>.$

Dowód . Patrz JV Uspensky (1937), Wprowadzenie do prawdopodobieństwa matematycznego , Nowy Jork: McGraw-Hill, str. 305

Później R. Sherman poprawił to do następujących.

δ_{n} < \frac{1}{7.5 π n} - (\frac{π}{180} + \frac{1}{7.5 π n}) e^{- π^{2} n / 24} + \frac{1}{(n + 1) π} {(\frac{2}{π})}^{n} + \frac{12}{π^{3} n} e^{- π^{2} n / 24} .

$\delta_n < \frac{1}{7.5 \pi n} - \left(\frac{\pi}{180}+\frac{1}{7.5\pi n}\right) e^{-\pi^2 n / 24} + \frac{1}{(n+1)\pi}\left(\frac{2}{\pi}\right)^n + \frac{12}{\pi^3 n} e^{-\pi^2 n / 24} \>.$

Dowód : patrz R. Sherman, Błąd normalnego przybliżenia do sumy N zmiennych losowych , Biometrika , vol. 58, nr 2, 396–398.

$(\sin x) / x$

— kardynał
źródło

N = n

$N=n$

@Procrastinator: Good catch.

— kardynał

2

$2$