Przypomnij sobie, żeex≥1+x
E[eY]=eE(Y)E[eY−E(Y)]≥eE(Y)E[1+Y−E(Y)]=eE(Y)
WięceE(Y)≤E[eY]
Teraz pozwalając , mamy:Y=lnX
eE(lnX)≤E[elnX]=E(X)
teraz weź dzienniki z obu stron
E[ln(X)]≤ln[E(X)]
Alternatywnie:
lnX=lnX−lnμ+lnμ (gdzie )μ=E(X)
=ln(X/μ)+lnμ
=ln[X−μμ+1]+lnμ
≤X−μμ+lnμ (od )ln(t+1)≤t
Teraz weź oczekiwania obu stron:
E[ln(X)]≤lnμ
Ilustracja (pokazująca związek z nierównością Jensena):
( Tutaj role X i Y są zamienione, aby pasowały do osi wykresu; lepsze planowanie zamieniłoby ich role powyżej, aby wykres bardziej bezpośrednio pasował do algebry. )
Jednolite kolorowe linie reprezentują średnie na każdej osi.
XYY