Dlaczego ln [E (x)]> E [ln (x)]?

Zajmujemy się logarytmiczną dystrybucją na kursie finansowym, a mój podręcznik po prostu stwierdza, że ​​to prawda, co wydaje mi się frustrujące, ponieważ moje matematyczne doświadczenie nie jest zbyt silne, ale chcę intuicji. Czy ktoś może mi pokazać, dlaczego tak jest?

Przypomnij sobie, że$e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

Więc$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

Teraz pozwalając , mamy:$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

teraz weź dzienniki z obu stron

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

Alternatywnie:

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (gdzie )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$ (od )$\ln(t+1)\leq t$

Teraz weź oczekiwania obu stron:

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

Ilustracja (pokazująca związek z nierównością Jensena):

( Tutaj role X i Y są zamienione, aby pasowały do ​​osi wykresu; lepsze planowanie zamieniłoby ich role powyżej, aby wykres bardziej bezpośrednio pasował do algebry. )

Jednolite kolorowe linie reprezentują średnie na każdej osi.

$X$$Y$$Y$