Jaka jest różnica między funkcją generującą moment a funkcją generującą prawdopodobieństwo?

Jestem zdezorientowany między dwoma terminami „funkcja generująca prawdopodobieństwo” i „funkcja generująca moment”. Czym różnią się te warunki?

Funkcja generowania prawdopodobieństwa jest zwykle używana do (nieujemnych) zmiennych losowych o wartościach całkowitych, ale tak naprawdę jest jedynie przepakowaniem funkcji generującej moment. Więc dwa zawierają te same informacje.

Niech będzie nieujemną zmienną losową. Następnie (patrz https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function ) funkcję generującą prawdopodobieństwo określa się jako a funkcją generowania momentu jest Teraz zdefiniuj , aby . Następnie Tak więc, podsumowując, związek jest proste: G ( z ) = E z X M X ( t ) = E e t X log z = t e t = z G ( z ) = E z X = E ( e t ) X = E e t X = M X ( t ) = M X ( log z ) $X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

@Carl pisze w komentarzu na ten temat moją formułę „... która jest prawdziwa, z wyjątkiem sytuacji, gdy jest to fałsz”, więc muszę mieć kilka komentarzy. Oczywiście równość zakłada, że ​​oba są zdefiniowane i należy podać domenę dla zmiennej . Myślałem, że post był wystarczająco jasny bez tych formalności, ale tak, czasami jestem zbyt nieformalny. Ale jest jeszcze jedna kwestia: tak, funkcja generująca prawdopodobieństwo jest najczęściej używana w przypadku funkcji masy prawdopodobieństwa (argument nieujemny), skąd pochodzi nazwa. Ale w definicji nie ma nic, co by to zakładało, może być również wykorzystane do dowolnej nieujemnej zmiennej losowej! Jako przykład weźmy rozkład wykładniczy ze współczynnikiem 1, możemy obliczyć z G ( z ) = E z X = ∫ ∞ 0 z x e - $G(z) = M_X(\log z)$$z$

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$ które mogą być wykorzystane do wszystkich celów, korzystamy z funkcji generowania momentu i można sprawdzić, czy relacje między dwiema funkcjami są spełnione. Zwykle tego nie robimy, prawdopodobnie bardziej praktyczne jest stosowanie tych samych definicji z (ewentualnie) ujemnymi, jak również z nieujemnymi zmiennymi. Ale nie jest to wymuszone przez matematykę.

Zdefiniujmy najpierw, a następnie określ różnicę.

1) W teorii prawdopodobieństwa i statystyce funkcja generująca moment (mgf) zmiennej losowej o wartości rzeczywistej jest alternatywną specyfikacją jej rozkładu prawdopodobieństwa.

2) W teorii prawdopodobieństwa funkcją generującą prawdopodobieństwo (pgf) dyskretnej zmiennej losowej jest reprezentacja szeregu mocy (funkcja generująca) funkcji masy prawdopodobieństwa zmiennej losowej.

Mgf można uznać za uogólnienie pgf. Różnica polega między innymi na tym, że funkcja generowania prawdopodobieństwa ma zastosowanie do dyskretnych zmiennych losowych, podczas gdy funkcja generowania momentu ma zastosowanie do dyskretnych zmiennych losowych, a także do niektórych ciągłych zmiennych losowych. Na przykład oba można zastosować do rozkładu Poissona, ponieważ jest on dyskretny. Rzeczywiście, dają wynik o tej samej formie; . Tylko mgf miałoby zastosowanie do rozkładu normalnego i ani mgf, ani pgf nie miały zastosowania do rozkładu Cauchy'ego, ale z nieco innych powodów.$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

Jak wskazuje @kjetilbhalvorsen, pgf dotyczy raczej nieujemnych, a nie tylko dyskretnych zmiennych losowych. Dlatego obecny wpis w Wikipedii dotyczący funkcji generowania prawdopodobieństwa zawiera błąd pominięcia i powinien zostać poprawiony.