Czym jest kowariancja w prostym języku?

Co to jest kowariancja w prostym języku i w jaki sposób jest ona powiązana ze strukturą zależności , korelacji i struktury wariancji-kowariancji w odniesieniu do schematów powtarzanych pomiarów?

Kowariancja jest miarą tego, jak zmiany w jednej zmiennej są powiązane ze zmianami w drugiej zmiennej. W szczególności kowariancja mierzy stopień, w jakim dwie zmienne są liniowo powiązane. Jest jednak często wykorzystywany nieformalnie jako ogólna miara monotonicznie powiązanych dwóch zmiennych. Istnieje wiele przydatnych intuicyjne wyjaśnienia kowariancji tutaj .

Jeśli chodzi o związek kowariancji z każdym z wymienionych terminów:

$[-1,1]$$\pm 1$$0$

$0$$0$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

$0$

(3) Struktura wariancji / kowariancji (często nazywana po prostu strukturą kowariancji ) w projektach z powtarzanymi pomiarami odnosi się do struktury stosowanej do modelowania faktu, że powtarzane pomiary na osobnikach są potencjalnie skorelowane (a zatem zależne) - odbywa się to poprzez modelowanie wpisy w macierzy kowariancji powtarzanych pomiarów. Jednym z przykładów jest wymienna struktura korelacji ze stałą wariancją, która określa, że ​​każdy powtarzany pomiar ma tę samą wariancję, a wszystkie pary pomiarów są jednakowo skorelowane. Lepszym wyborem może być określenie struktury kowariancji, która wymaga dwóch pomiarów oddalonych od siebie w czasie, aby być mniej skorelowanym (np.model autoregresyjny ). Zauważ, że termin struktura kowariancji pojawia się bardziej ogólnie w wielu rodzajach analiz wielowymiarowych, w których obserwacje mogą być skorelowane.

Odpowiedź makro jest doskonała, ale chcę dodać więcej do tego, w jaki sposób kowariancja jest związana z korelacją. Kowariancja tak naprawdę nie mówi o sile związku między dwiema zmiennymi, podczas gdy korelacja tak. Na przykład:

x = [1, 2, 3]
y = [4, 6, 10]

cov(x,y) = 2 #I am using population covariance here

Teraz zmieńmy skalę i pomnóżmy xiy przez 10

x = [10, 20, 30]
y = [40, 60, 100]

cov(x, y) = 200

Zmiana skali nie powinna zwiększać siły związku, więc możemy to dostosować, dzieląc kowariancje przez odchylenia standardowe xiy, co jest dokładną definicją współczynnika korelacji.

W obu powyższych przypadkach współczynnik korelacji między xiy wynosi 0.98198.