Tworzenie automatycznie skorelowanych wartości losowych w R

Próbujemy stworzyć automatycznie skorelowane wartości losowe, które zostaną wykorzystane jako szeregi czasowe. Nie mamy żadnych danych, do których się odwołujemy, a po prostu chcemy stworzyć wektor od zera.

Z jednej strony potrzebujemy oczywiście losowego procesu z rozkładem i jego SD.

Z drugiej strony należy opisać autokorelację wpływającą na losowy proces. Wartości wektora są autokorelowane ze zmniejszającą się siłą w ciągu kilku timelagów. np. lag1 ma 0,5, lag2 0,3, lag1 0,1 itd.

W końcu wektor powinien wyglądać tak, że: 2, 4, 7, 11, 10, 8, 5, 4, 2, -1, 2, 5, 9, 12, 13, 10, 8, 4, 3, 1, -2, -5

i tak dalej.

Właściwie często napotykam ten problem. Moje dwa ulubione sposoby generowania szeregów czasowych z autokorelacją w R zależą od tego, czy chcę proces stacjonarny, czy nie.

W przypadku niestacjonarnych szeregów czasowych używam ruchu Browna. Na przykład dla długości 1000:

x <- diffinv(rnorm(999))

Dla stacjonarnych szeregów czasowych filtruję szum Gaussa. Na przykład wygląda to tak:

x <- filter(rnorm(1000), filter=rep(1,3), circular=TRUE)

W takim przypadku autokorelacja przy opóźnieniu wynosi 0, jeśli . W innych przypadkach musimy obliczyć korelację między sumami zmiennych. Na przykład dla kowariancja wynosi$\tau$$\tau > 2$$\tau = 1$

$$Cov(X_1;X_2) = Cov(Y_1+Y_2+Y_3; Y_2+Y_3+Y_4) = Var(Y_2) + Var(Y_3) = 2.$$

Widzisz więc, że automatyczna kowariancja spada liniowo w górę, aż gdzie jest długością filtra.$n$$n$

Możesz także chcieć wykonać długie szeregi czasowe pamięci (takie jak ułamkowy ruch Browna), ale jest to bardziej zaangażowane. Mam implementację R metody Davies-Harte, którą mogę ci wysłać, jeśli chcesz.

Jeśli masz daną funkcję autokowariancji, najlepszym modelem (pod względem wykonalności), o którym myślę, jest wielowymiarowy proces gaussowski, w którym, biorąc pod uwagę funkcję autokowariancji w lag , możesz łatwo utworzyć macierz kowariancji ,$R(\tau)$$\tau$

$$\Sigma=\left[ \begin{array}{cccc} R(0) & R(1) & ... & R(N) \\ R(1) & R(0) & ... & R(N-1) \\ \vdots & \ddots & ... & \vdots \\ R(N) & R(N-1) & ... & R(0) \end{array} \right]$$

Biorąc pod uwagę tę macierz kowariancji, próbkujesz dane z wielowymiarowego gaussa z podaną macierzą kowariancji , tj. Próbkujesz wektor z rozkładu gdzie jest wektorem średnim.$\Sigma$

$$f(\vec{x})=\frac{1}{(2\pi)^{N/2}|\Sigma|^{1/2}}\text{exp}\left(-\frac{1}{2}(\vec{x}-\vec{\mu})^T\Sigma^{-1}(\vec{x}-\vec{\mu})\right)\text{,}$$ $\vec{\mu}$

Możesz wygenerować skorelowaną sekwencję, konstruując proces autoregresji Na przykład proces AR (1) . Wygeneruj przy użyciu jednolitego generatora liczb losowych dla wybranego rozkładu. Niech Uzyskaj i tak dalej. są kolejno wybierane losowo przy użyciu jednolitych liczb losowych. Aby podać średnią i odchylenie standardowe, które chcesz, możesz wyprowadzić je ze średniej i wariancji sekwencji szumu . Wybierz odpowiednio .$X(t)=a X(t-1) + e(t)$$e(0)$$X(0) = e(0)$$X(1)=a X(0) + e(1)$$e(i)$$X(i)$$e(i)$$e(i)$