Dowód, że jeśli istnieje wyższy moment, wówczas również istnieje niższy moment

-ty moment zmiennej losowej jest skończony , jeśli $r$ $X$

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

Próbuję pokazać, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej , wtedy -ty moment jest również skończony. $s<r$ $s$ $\mathbb E[|X^s|]$

self-study moments function

— nona
źródło

Czy to zadanie domowe? Jeśli tak, to czego próbowałeś do tej pory? Ponadto starałem się, aby twoje pytanie było bardziej czytelne, daj mi znać, jeśli popełniłem błąd.

— Gschneider

Czytam podręcznik Billingsleya i przeszukuję internet, ale nie ma dokładnego dowodu. To, co znalazłem, to tylko wskazówka, być może można wykorzystać nierówność Jensen.

— nona

Rozważ przepisaniejakoi sprawdź, czy to cię gdzieś zaprowadzi.

| X^{r} |

$|X^r|$

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$

— Gschneider

Istnieje różnica między chwilą istniejącą a byciem skończonym . W szczególności może istnieć chwila, ale być nieskończona. Terminologia, z którą się zapoznasz jest nieco nieprecyzyjna. W każdym razie jest to standardowy wynik dotyczący przestrzeni ; nie jest prawdą, że „nie istnieje dokładny dowód”. :)

L_{p}

$L_p$

— kardynał

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

— StasK
źródło

W porządku. Możesz to również udowodnić za pomocą nierówności Jensena.

— Stéphane Laurent,

(+1) Podoba mi się to, ponieważ opiera się tylko na najbardziej podstawowych właściwościach oczekiwania, a mianowicie monotoniczności. Jeśli martwisz się, co zrobić z prawą stroną, możesz zauważyć, że . Jeśli ktoś woli aplikację Jensena, może napisać i zauważyć, że .

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

— kardynał

@cardinal: (+1) Wolę twoją nierówność, ponieważ bezpośrednio dotyczy ona ...

| X |^{r}

$|X|^r$

— Xi'an