Generuj losowe liczby z „nachylonego rozkładu równomiernego” z teorii matematycznej

W jakimś celu muszę wygenerować losowe liczby (dane) z rozkładu „nachylonego równomiernie”. „Nachylenie” tego rozkładu może się zmieniać w rozsądnych odstępach czasu, a następnie mój rozkład powinien zmienić się z jednorodnego na trójkątny w zależności od nachylenia. Oto moje pochodzenie:

Uprośćmy to i wygeneruj dane od do (niebieski, czerwony to rozkład równomierny). Aby uzyskać funkcję gęstości prawdopodobieństwa niebieskiej linii, potrzebuję tylko równania tej linii. A zatem:$0$$B$

$$f(x) = tg(\varphi)x + Y(0)$$

i ponieważ (zdjęcie):

$$\begin{align} tg(\varphi) &= \frac{1/B - Y(0)}{B/2} \\[5pt] Y(0) &= \frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \end{align}$$

Mamy to:

$$f(x) = tg(\varphi)x + \left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Ponieważ to PDF, CDF wynosi:$f(x)$

$$F(x) = \frac{tg(\varphi)x^2}{2} + x\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right)$$

Teraz stwórzmy generator danych. Chodzi o to, że jeśli naprawię , liczby losowe można obliczyć, jeśli otrzymam liczby od z jednolitego rozkładu, jak opisano tutaj . Zatem jeśli potrzebuję 100 liczb losowych z mojego rozkładu ze stałym , to dla dowolnego z rozkładu jednolitego istnieje z „rozkładu nachylonego”, a można obliczyć jako:$\varphi, B$$x$$(0,1)$$\varphi, B$$t_i$$(0,1)$$x_i$$x$

$$\frac{tg(\varphi)x_i^2}{2} + x_i\left(\frac{1}{B} - tg(\varphi)\frac{B}{2} \right) - t_i = 0$$

Z tej teorii stworzyłem kod w Pythonie, który wygląda następująco:

import numpy as np
import math
import random
def tan_choice():
    x = random.uniform(-math.pi/3, math.pi/3)
    tan = math.tan(x)
    return tan

def rand_shape_unif(N, B, tg_fi):
    res = []
    n = 0
    while N > n:
        c = random.uniform(0,1)
        a = tg_fi/2
        b = 1/B - (tg_fi*B)/2
        quadratic = np.poly1d([a,b,-c])
        rots = quadratic.roots
        rot = rots[(rots.imag == 0) & (rots.real >= 0) & (rots.real <= B)].real
        rot = float(rot)
        res.append(rot)
        n += 1
    return res

def rand_numb(N_, B_):
    tan_ = tan_choice()
    res = rand_shape_unif(N_, B_, tan_)
    return res

Ale liczby generowane z rand_numbsą bardzo bliskie zeru lub B (które ustawiłem na 25). Nie ma wariancji, gdy generuję 100 liczb, wszystkie są bliskie 25 lub wszystkie są bliskie zeru. W jednym biegu:

num = rand_numb(100, 25)
numb
Out[140]: 
[0.1063241766836174,
 0.011086243095907753,
 0.05690217839063588,
 0.08551031241199764,
 0.03411227661295121,
 0.10927087752739746,
 0.1173334720516189,
 0.14160616846114774,
 0.020124543145515768,
 0.10794924067959207]

Więc musi być coś bardzo złego w moim kodzie. Czy ktoś może mi pomóc z moim wyprowadzeniem lub kodem? Jestem szalony z tego powodu, nie widzę żadnego błędu. Przypuszczam, że kod R da mi podobne wyniki.

Twoje pochodzenie jest w porządku. Zauważ, że aby uzyskać dodatnią gęstość na , musisz ograniczyć W kodzie więc powinieneś wziąć między , tam właśnie zawiedzie Twój kod.$(0,B)$

$$B^2 \tan\phi < 2.$$ $B = 25$$\phi$$\pm\tan^{-1}{2\over 625}$

Można (i powinno) Należy unikać używania kwadratowego Solver, a następnie wybierz korzenie między 0 i . Kwadratyczne równanie wielomianowe w do rozwiązania to z Z założenia i ; również wzrasta na .$B$$x$

$$F(x) = t$$ $$F(x) = {1\over 2} \tan \phi \cdot x^2 + \left( {1\over B} - {B\over 2} \tan \phi \right) x.$$ $F(0) = 0$$F(B) = 1$$F$$(0,B)$

Z tego łatwo zauważyć, że jeśli , część paraboli, którą jesteśmy zainteresowani, jest częścią prawej strony paraboli, a korzeń do zachowania jest najwyższym z dwóch korzeni, że to Przeciwnie, jeśli , parabola jest do góry nogami, a my interesujemy się jej lewą stroną część. Korzeń do zachowania jest najniższy. Biorąc pod uwagę znak wydaje się, że jest to ten sam root (tj. Ten z ) niż w pierwszym przypadku.$\tan \phi > 0$

$$x = {1\over \tan \phi} \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} + \sqrt{ \left( {B\over 2} \tan \phi - {1\over B} \right)^2 + 2 \tan \phi \cdot t}. \right)$$ $\tan\phi < 0$$\tan\phi$$+\sqrt\Delta$

Oto trochę kodu R.

phi <- pi/8; B <- 2
f <- function(t) (-(1/B - 0.5*B*tan(phi)) + 
       sqrt( (1/B - 0.5*B*tan(phi))**2 + 2 * tan(phi) * t))/tan(phi)
hist(f(runif(1e6)))

I z :$\phi < 0$

phi <- -pi/8
hist(f(runif(1e6)))