Jak działa metoda transformacji odwrotnej?

21

Jak działa metoda inwersji?
Powiedzmy, że mam losową próbkę o gęstości powyżej a zatem z cdf na . Następnie metodą inwersji otrzymuję rozkład jako . $X_1,X_2,...,X_n$ $f(x;\theta)={1\over \theta} x^{(1-\theta)\over \theta}$
$0<x<1$ $F_X(x)=x^{1/\theta}$ $(0,1)$ $X$ $F_X^{-1}(u)=u^\theta$

Więc czy ma rozkład ? Czy tak działa metoda inwersji? $u^\theta$ $X$

u<-runif(n)
x<-u^(theta)

— Clarkson
źródło

3

Zobacz nasze wątki na temat transformaty całkowej prawdopodobieństwa .

— whuber

1

Tak, chociaż zwykle nazywa się to „transformatą całkową prawdopodobieństwa”. Spróbuj wyprowadzić funkcję rozkładu aby zobaczyć, dlaczego to działa.

F^{- 1} (U)

$F^{-1}(U)$

— dsaxton

20

Metoda jest bardzo prosta, więc opiszę ją prostymi słowami. Najpierw weźmy funkcję rozkładu skumulowanego jakiejś dystrybucji, z której chcemy próbkować. Funkcja przyjmuje jako dane wejściowe pewną wartość i mówi, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania . Więc $F_X$ $x$ $X \leq x$

{fa}_{X} (x) = Par (X \leq x) = p

$F_X(x) = \Pr(X \leq x) = p$

odwrotność takiej funkcji funkcyjnej, przyjmowałby jako wejście i zwrócił . Zauważmy, że „s są rozłożone równomiernie - to może być wykorzystywane do pobierania próbek z każdego jeśli wiesz . Metoda nazywana jest próbkowaniem z transformacją odwrotną . Pomysł jest bardzo prosty: łatwo jest równomiernie próbkować wartości z , więc jeśli chcesz próbkować z jakiegoś , po prostu weź wartości i przekaż przez w celu otrzymania „s $F_X^{-1}$ $p$ $x$ $p$ $F_X$ $F_X^{-1}$ $U(0, 1)$ $F_X$ $u \sim U(0, 1)$ $u$ $F_X^{-1}$ $x$

{fa}_{X}^{- 1} (u) = x

$F_X^{-1}(u) = x$

lub w R (dla rozkładu normalnego)

U <- runif(1e6)
X <- qnorm(U)

Aby to zobrazować, spójrz na CDF poniżej, ogólnie myślimy o rozkładach w kategoriach spojrzenia na oś dla prawdopodobieństwa wartości z osi . W przypadku tej metody próbkowania robimy coś przeciwnego i zaczynamy od „prawdopodobieństw” i używamy ich do wybierania powiązanych z nimi wartości. Przy rozkładach dyskretnych traktujesz jako linię od do i przypisujesz wartości na podstawie tego, gdzie w tym wierszu leży punkt (np. jeśli lub jeśli do próbkowania z ). $y$ $x$ $U$ $0$ $1$ $u$ $0$ $0 \leq u < 0.5$ $1$ $0.5 \leq u \leq 1$ $\mathrm{Bernoulli}(0.5)$

Niestety, nie zawsze jest to możliwe, ponieważ nie każda funkcja ma swoją odwrotność, np. Nie można użyć tej metody z rozkładami dwuwymiarowymi. Nie musi to być również najbardziej wydajna metoda we wszystkich sytuacjach, w wielu przypadkach istnieją lepsze algorytmy.

Pytasz także, jaki jest rozkład . Ponieważ jest odwrotnością , to i , więc tak, wartości uzyskane za pomocą takie metody mają ten sam rozkład, jak . Możesz to sprawdzić za pomocą prostej symulacji $F_X^{-1}(u)$ $F_X^{-1}$ $F_X$ $F_X(F_X^{-1}(u)) = u$ $F_X^{-1}(F_X(x)) = x$ $X$

U <- runif(1e6)
all.equal(pnorm(qnorm(U)), U)

— Tim
źródło

Dobra odpowiedź. Ta metoda działa, gdy masz rozkłady takie jak wykładniczy, Cauchy, Geometryczny, Pareto, Logistyczny, Ekstremalna wartość Weibull , itp. Na przykład nie możesz znaleźć zamkniętego formularza dla rozkładu normalnego . Dlatego nie będziesz mógł użyć tej metody. Możesz wypróbować inne metody, takie jak Metoda odrzucenia .

— Abbas Salimi,

2

Możesz użyć metody transformacji odwrotnej z rozkładem normalnym. Istnieje wiele implementacji normalnego odwrotnego CDF . Na przykład, możesz napisać normalny odwrotny CDF za pomocą uzupełniającej funkcji błędu . Przykładowa implementacja erfc jest tutaj . Nie koduj sam siebie; użyj biblioteki. Brak formuły w postaci zamkniętej nie oznacza, że nie można stosować przybliżeń numerycznych wysokiej jakości.

— Matthew Gunn

2

Tak, ma rozkład . $U^θ$ $X$

Przydałyby się dwa dodatkowe punkty intuicji dotyczące metody transformacji odwrotnej

(1) Aby zrozumieć, co tak naprawdę oznacza zapoznaj się z wykresem w odpowiedzi Tima, aby pomóc mi zrozumieć funkcję kwantylu (odwrotny CDF) $F^{-1}$

(2) [Proszę, po prostu zignoruj poniższe, jeśli wprowadza więcej zamieszania zamiast przejrzystości]

Niech być dowolną zmienną losową (Ap) z ciągłym i wyłącznie zwiększenia ED . Następnie Uwaga na notację: jest rv Dlatego funkcja rv , jest sama rv. $X$ $F$

fa (X) \sim Unif (0, 1)

$F(X) \sim \text{Unif}(0,1)$

X

$X$

X

$X$

F (X)

$F(X)$

Na przykład, jeśli odrzucisz pytanie, aby mieć dostęp do i chcesz wygenerować standardowy mundur, to . Niech nazywają tę zmienną losową . Więc Wracając do Twojego pytania, masz za zadanie przeciwnie: do generowania z . Rzeczywiście $X$ $X^{1/\theta} \sim \text{Unif}(0,1)$ $U$

U = X^{1 / θ}

$U = X^{1/\theta}$

X

$X$

U

$U$

X = U^{θ}

$X=U^\theta$

PS. Alternatywne nazwy tej metody to transformata całkowa prawdopodobieństwa, próbkowanie odwrotnej transformacji, transformacja kwantylowa oraz, w niektórych źródłach, „podstawowe twierdzenie o symulacji”.

— den2042
źródło