Oczekiwana wartość fałszywej korelacji

Rysujemy próbek, każda o rozmiarze , niezależnie od rozkładu Normal .$N$$n$$(\mu,\sigma^2)$

Z próbek wybieramy następnie 2 próbki, które mają najwyższą (absolutną) korelację Pearsona ze sobą.$N$

Jaka jest oczekiwana wartość tej korelacji?

Dzięki [PS To nie zadanie domowe]

Znalazłem następujący artykuł, który dotyczy tego problemu: Jiang, Tiefeng (2004). Rozkłady asymptotyczne największych wpisów macierzy korelacji próbek. The Annals of Applied Prawdopodobieństwo, 14 (2), 865-880

Jiang pokazuje asymptotyczny rozkład statystyki, gdzie jest korelacją między tym i tym losowym wektorem o długości (z ), wynosi$L_n = \max_{1\leq i<j\leq N} |\rho_{ij}|$$\rho_{ij}$$i$$j$$n$$i\neq j$

Najwyraźniej ten wynik dotyczy wszelkich rozkładów dystrybucji z wystarczającą liczbą skończonych momentów ( edycja: patrz komentarz @ kardynała poniżej). Jiang zwraca uwagę, że jest to ekstremalny rozkład wartości typu I. Lokalizacja i skala są

Oczekiwana wartość rozkładu EV typu I to , gdzie oznacza stałą Eulera. Jednakże, jak zauważono w komentarzach, konwergencja w dystrybucji sama w sobie nie gwarantuje konwergencji środków do dystrybucji ograniczającej.$\mu + \sigma \gamma$$\gamma$

Jeśli moglibyśmy pokazać taki wynik w tym przypadku, to asymptotyczna oczekiwana wartośćwynosiłaby$n L_n^2 -4\log n + \log(\log(n))$

Należy zauważyć, że dałoby to asymptotyczną wartość oczekiwaną największej korelacji do kwadratu, podczas gdy pytanie dotyczyło oczekiwanej wartości największej korelacji bezwzględnej. Więc nie 100% tam, ale blisko.

Zrobiłem kilka krótkich symulacji, które doprowadziły mnie do wniosku, że albo 1) jest problem z moją symulacją (prawdopodobnie), 2) jest problem z moją transkrypcją / algebrą (prawdopodobnie również), lub 3) przybliżenie nie jest poprawne dla zastosowane wartości i I. Być może PO może zważyć niektóre wyniki symulacji przy użyciu tego przybliżenia?$n$$N$

Oprócz odpowiedzi udzielonej przez @jmtroos, poniżej znajdują się szczegóły mojej symulacji i porównanie z wyprowadzeniem @ jmtroos oczekiwań od Jiang (2004) , to znaczy:

Wartości tego oczekiwania wydają się przekraczać symulowane wartości dla małego i poniżej dla dużego i wydają się nieco różnić w miarę wzrostuJednak różnice zmniejszają się wraz ze wzrostem , jak można się spodziewać, ponieważ artykuł twierdzi, że rozkład jest asymptotyczny. Próbowałem różnych . Poniższa symulacja wykorzystuje . Jestem całkiem nowy w R, więc wszelkie wskazówki i sugestie dotyczące ulepszenia mojego kodu będą mile widziane.$N$$N$$N$$n$$n \in [100,500]$$n=200$

set.seed(1)

ns <- 500
# number of simulations for each N

n <- 200
# length of each vector

mu <- 0
sigma <- 1
# parameters for the distribution we simulate from

par(mfrow=c(5,5))
x<-trunc(seq(from=5,to=n, length=20))
#vector of Ns

y<-vector(mode = "numeric")
#vector to store the mean correlations

k<- 1
#index for y

for (N in x) {
# loop over a range of N

    dt <- matrix(nrow=n,ncol=N)

    J <- vector(mode = "numeric")
    # vector to store the simulated largest absolute 
    # correlations for each N

    for (j in 1:ns) {
    # for each N, simulated ns times    

      for (i in 1:N) {
        dt[,i] <- rnorm(n,mu,sigma)
      }
      # perform the simulation

      M<-matrix(cor(dt),nrow=N,ncol=N)
      m <- M
      diag(m) <- NA
      J[j] <- max(abs(m), na.rm=TRUE)   
      # obtain the largest absolute correlation
      # these 3 lines came from stackoverflow
  }

    hist(J,main=paste("N=",N, " n=",n, " N(0,1)", "\nmean=",round(J[j],4))) 
    y[k]<-mean(J)
    k=k+1
}

lm1 <- lm(y~log(x))
summary(lm1)

logx_sq=log(x)^2
lm2<-lm(y~log(x)+logx_sq)
summary(lm2)
# linear models for these simulations

# Jiang 2004 paper, computation:

gamma = 0.5772
yy <- vector(mode = "numeric")
yy <- sqrt((2*log((x^2)/(sqrt(8*pi)*n^2)) + 2*gamma-(-4*log(n)+log(log(n))))/n)


plot(x,yy)
# plot the simulated correlations
points(x,y,col='red')
# add the points using the expectation