Jak jest , współrzędna biegunowa, rozkładana, gdy i kiedy ?

Niech wybrane zostaną współrzędne kartezjańskie losowego punktu st .$x,y$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$

Tak więc, promień , a nie jest rozmieszczone równomiernie jak sugeruje \ Rho jest PDF .$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$$\rho$

Niemniej jednak oczekiwałbym, że $\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$ będzie prawie jednolity, z wyłączeniem artefaktów z powodu 4 resztek na krawędziach:

Poniżej przedstawiono grafically obliczone funkcje gęstości prawdopodobieństwa o $\theta$ i $\rho$ :

Teraz, jeśli pozwolę aby były rozłożone st wtedy wydaje się równomiernie rozłożona:x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2 ) $x,y$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$$\theta$

Dlaczego nie jest jednolita, gdy i jest jednolita, gdy ?( x , y ) ∼ U ( - 10 , 10 ) × U ( - 10 , 10 ) x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2$\theta$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

Użyłem kodu Matlab:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

Podstawienie trzeciej linii: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);z r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;zmieni rozkład z normalnego na jednolity.$(x,y)$

Odwołujesz się do transformacji z pary niezależnych zmiennych do reprezentacji biegunowej (promień i kąt), a następnie patrzysz na rozkład krańcowy .( R , θ ) $(X,Y)$$(R,\theta)$$\theta$

Przedstawię nieco intuicyjne wyjaśnienie (choć matematyczne wyprowadzenie gęstości robi zasadniczo to, co opisuję nieformalnie).

Zauważ, że jeśli skalujesz dwie zmienne, X i Y według jakiejś wspólnej skali (np. Przejdź od U (-1,1) do U (-10,10) lub od N (0,1) do N (0,20) na obu zmiennych jednocześnie), co nie ma znaczenia dla rozkładu kąta (wpływa tylko na skalę rozkładu promienia). Rozważmy więc tylko przypadki jednostkowe.

Najpierw zastanów się, co się dzieje z jednolitym etui. Zauważ, że rozkład jest równomierny w stosunku do kwadratu jednostkowego, więc gęstość prawdopodobieństwa w regionie zawartym w jest proporcjonalna do obszaru regionu. W szczególności spójrz na gęstość związaną z elementem kąta, blisko poziomu (blisko kąta ) i na przekątnej (blisko kąta ): d θ θ = 0 θ = π /$[-1,1]^2$$d\theta$$\theta=0$$\theta=\pi/4$

Oczywiście element prawdopodobieństwa (tj. powierzchni) odpowiadający elementowi kąta ( ) jest większy, gdy kąt znajduje się w pobliżu jednej z przekątnych. Rzeczywiście rozważ wpisanie okręgu wewnątrz kwadratu; obszar rozpięty o dany mały kąt wewnątrz koła jest stały, a następnie część na zewnątrz koła rośnie, gdy zbliżamy się do przekątnej, gdzie jest ona maksymalna. d $df_\theta$$d\theta$

To całkowicie odpowiada wzorowi widocznemu w symulacjach.

Rzeczywiście, widzimy, że gęstość musi być proporcjonalna do długości odcinka od środka kwadratu do jego krawędzi; prosta trygonometria jest wystarczająca do uzyskania gęstości, a następnie łatwo jest znaleźć stałą wymaganą do zintegrowania gęstości z 1.

[Edytuj: dodałem ten następny fragment, aby omówić promień, ponieważ pytanie zmieniło się od mojej pierwotnej odpowiedzi.]

Zauważ, że jeśli mieliśmy równomierne rozprowadzenie nad jednostką okręgu (czyli ta, którą wpisano na placu przed), a następnie gęstość promieniu do tego byłaby proporcjonalna do promienia (pod powierzchnię małego elementu pierścieniowego o szerokości przy promień - tj. między i - ma powierzchnię proporcjonalną do ). Następnie, gdy wychodzimy poza koło, nowe obszary pierścieniowe o większym promieniu uzyskują wkłady gęstości tylko z części kwadratu, więc gęstość zmniejsza się (początkowo dość szybko, a następnie wolniej) między a . (Ponownie dość proste pojęcia geometryczne są wystarczające, aby uzyskać funkcjonalną formę gęstości, jeśli jest potrzebna).r r r + d r r $dr$$r$$r$$r+dr$$r$$1$$\sqrt 2$

---

Natomiast jeśli rozkład złącza jest symetryczny obrotowo względem początku, to element prawdopodobieństwa pod pewnym kątem nie zależy od kąta (jest to zasadniczo tautologia!). Dwuwymiarowy rozkład dwóch niezależnych standardowych Gaussów jest obrotowo symetryczny względem pochodzenia:

(kod dla tego obrazu opartego na kodzie Elan Cohena tutaj , ale jest miłą alternatywą tutaj i coś między nimi tutaj )

W konsekwencji objętość zawarta w pewnym kącie jest taka sama dla każdego , więc gęstość związana z kątem jest jednolita dla .θ [ 0 , 2 π $d\theta$$\theta$$[0,2\pi)$

[Tarczę polarną zwykle stosowaną do całkowania gęstości normalnej nad linią rzeczywistą można wykorzystać, aby dowiedzieć się, że gęstość kwadratu promienia jest ujemna wykładniczo, a stamtąd gęstość promienia jest łatwa do zidentyfikowania za pomocą prostego argumentu transformacji z funkcja dystrybucji]

Odpowiem na pytanie o normalny przypadek prowadzący do jednolitego rozkładu. Dobrze wiadomo, że jeśli i są niezależne i normalnie rozmieszczone, kontury o stałej gęstości prawdopodobieństwa są okręgiem w płaszczyźnie . Promień ma rozkład Rayleigha. Dla dobrej dyskusji na ten temat artykuł w Wikipedii zatytułowany Dystrybucja Rayleigha.Y x - y R = $X$$Y$$x-y$$R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

Teraz spójrzmy na losowe zmienne i za pomocą współrzędnych biegunowych.$X$$Y$

Y = r sin ( θ ) X 2 + Y 2 = r 2 θ ( 0 , 2 π ) r X Y $X = r\cos(\theta)$ , . zauważ, że . Jeśli jest równomierne dla a ma rozkład Rayleigha, i będą niezależnymi normami, z których każda ma średnią i wspólną wariancję. Odwrotna jest również prawda. Dowód przeciwny jest, jak sądzę, OP chce jako odpowiedź na drugą część pytania.$Y = r \sin(\theta)$$X^2 +Y^2= r^2$$\theta$$(0,2 \pi)$$r$$X$$Y$$0$

Oto szkic dowodu. Bez utraty ogólności możemy założyć, że jest rozkładem a jest rozkładem i jest od siebie niezależny.N ( 0 , 1 ) Y N ( 0 , 1 $X$$N(0,1)$$Y$$N(0,1)$

Następnie gęstość złącza . Użyj transformacji do współrzędnych biegunowych, aby uzyskać . Od i . Więc i . Oblicz jakobian transformacji i dokonaj odpowiedniego podstawienia na . w rezultacie będzie dla i . To pokazuje, że i theta są niezależne odg ( R , θ ) x = R sin ( θ ) r = r cos ( θ ) R = $f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$$g(r, \theta)$$x = r \sin(\theta)$$y = r \cos(\theta)$ θ=arctan(x/y)f(x,y)g(r,θ)rexp[(-r2)/(2π)]r≥00≤θ≤2πrr1/(2π$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan(x/y)$$f(x,y)$$g(r, \theta)$$r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$$r\geq0$$0\leq\theta\leq 2 \pi$$r$$r$o rozkładzie Rayleigha i theta ma stałą gęstość .$1/(2 \pi)$

$\theta$$(X,Y)$$[-1,1]\times[-1,1]$$1 \over 4$$0$$1 \over 4$

Obszarem zainteresowania dla naszego pytania jest czerwony sektor na tym rysunku:

$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$

$\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

$1\over \cos\theta$

$${1\over \cos(\theta + d\theta)} = {1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta.$$

$a$$b$$\alpha$${1\over 2}ab\sin\alpha$

$${1\over 2} \left({1\over \cos\theta} \right) \left({1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta\right) \sin d\theta = {d\theta \over 2\cos^2 \theta}$$ $d\theta$$\sin d \theta= d\theta$

$\theta$

$${1\over 8 \cos^2 \theta}$$ $\theta$$\left[-{\pi\over 4},{\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

Weryfikacja:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )