Czy dwie standardowe normalne zmienne losowe są zawsze niezależne?

16

Dowiedziałem się, że standardowy rozkład normalny jest unikalny, ponieważ średnia i wariancja są ustalone odpowiednio na 0 i 1. Przez ten fakt zastanawiam się, czy jakieś dwie standardowe zmienne losowe muszą być niezależne.

normal-distribution independence

— C.Hawk
źródło

12

Dlaczego mieliby być…? Niezależność nie ma nic wspólnego z dystrybucją.

— Tim

27

Rozważmy

X

$X$ i

X

$X$ . Nie są niezależni.

— djechlin

Może ci się to przydać z praktycznego punktu widzenia. stats.stackexchange.com/questions/15011/…

— JustGettinStarted

Oprócz podanych dobrych przykładów, rozważ ogólnie dwuwymiarowy rozkład normalny z rozkładami krańcowymi N (0,!). Możliwe jest istnienie dowolnej korelacji między -1 a 1. Poniższe przykłady to wszystkie przypadki szczególne. Nawiasem mówiąc, możliwe jest, że dwie standardowe zmienne normalne są zależne, ale nie mają rozkładu dwuwymiarowego.

— Michael R. Chernick,

1

Zauważyłem, że Batman daje ogólny wynik, który może być taki sam, jak sugeruję. Przypadek Y = -X ma korelację -1, a więc jest zdegenerowaną postacią dwuwymiarowej normy. Nie widziałem tutaj przykładu (w tym poście), który ilustrowałby przypadek, który nie jest normalny dla dwóch zmiennych.

— Michael R. Chernick,

42

Odpowiedź brzmi nie. Na przykład, jeśli jest standardową zmienną losową, to następuje te same statystyki, ale i są wyraźnie zależne. $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— zastrzelić
źródło

26

Nie, nie ma powodu, aby sądzić, że dowolne dwa standardowe gaussowie są niezależne.

Oto prosta konstrukcja matematyczna. Załóżmy, że i to dwie niezależne standardowe zmienne normalne. Potem para $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

to dwie zależne standardowe zmienne normalne. Tak długo, jak długo są to dwie niezależne zmienne normalne, muszą istnieć dwie zależne .

Druga zmienna jest normalna, ponieważ każda liniowa kombinacja niezależnych zmiennych normalnych jest znowu normalna. $\sqrt{2}$ ma na celu uczynienie wariancji równą . $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

Intuicyjnie są one zależne, ponieważ znają wartość $X$ daje dodatkowe informacje, których możesz użyć, aby przewidzieć wartość drugiej zmiennej. Na przykład, jeśli wiesz, że , to warunkowe oczekiwanie drugiej zmiennej to $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— Matthew Drury
źródło

7

Oto dość szeroka odpowiedź:

Niech wspólnie Gaussa zmienne losowe (czyli dla każdego liczb rzeczywistych, ma rozkład Gaussa). Wówczas i są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy (tzn. Są nieskorelowane). Zobacz na przykład te uwagi , aby uzyskać szczegółowe informacje. $X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

$\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ $p=0$

— Ordynans
źródło

5

Nie dwuwymiarowy normalny przykład (jak sugeruje Michael Chernick w komentarzach):

$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$

$f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$

— Ordynans
źródło