Dlaczego prawo dużych liczb nie ma zastosowania w przypadku ceny akcji Apple?

Oto artykuł z czasów nowojorskich zatytułowany „Apple konfrontuje prawo wielkich liczb” . Stara się wyjaśnić wzrost cen akcji Apple za pomocą prawa wielkich liczb. Jakie błędy statystyczne (lub matematyczne) popełnia ten artykuł?

Oto otarcie: Apple jest tak duże, że działa wbrew prawu wielkich liczb.

Znane również jako złote twierdzenie, z dowodem przypisanym XVII-wiecznemu szwajcarskiemu matematykowi Jacobowi Bernoulli, prawo stanowi, że zmienna powróci do średniej po dużej próbce wyników. W przypadku największych firm sugeruje to, że wysoki wzrost zysków i szybki wzrost cen akcji spowolnią, gdy te firmy będą rosły jeszcze bardziej.

Ta mętna zbieranina faktycznie odnosi się do trzech różnych zjawisk!

1. (Różne) prawa wielkich liczb mają fundamentalne znaczenie w teorii prawdopodobieństwa do charakteryzowania sytuacji, w których uzasadnione jest oczekiwanie, że duże próbki dostarczą coraz lepszych informacji o próbkach lub populacji, z której pobierane są próbki. Rzeczywiście, Jacob Bernoulli jako pierwszy uznał potrzebę sformułowania i udowodnienia takiego twierdzenia, które pojawiło się w jego pośmiertnym Ars Conjectandi w 1713 r. (Pod redakcją siostrzeńca Nicholasa Bernoulli).

   Nie ma widocznego uzasadnionego zastosowania takiego prawa do wzrostu Apple.

2. Regres w kierunku średniej został po raz pierwszy rozpoznany przez Francisa Galtona w latach osiemdziesiątych XIX wieku. Jednak często jest niedoceniany przez analityków biznesowych. Na przykład, na początku 1933 roku (w głąb Wielkiego Kryzysu), Horacy Secrista opublikował swoje opus magnum, z Triumph miernoty w biznesie. W nim obficie zbadał szeregi czasowe biznesowe i znalazł, w każdym przypadku, dowód regresji w kierunku średniej. Ale nie uznając tego za nieuniknioną matematykęutrzymywał, że odkrył podstawową prawdę dotyczącą rozwoju biznesu! Ta pomyłka polegająca na pomyleniu czysto matematycznego wzoru z wynikiem pewnej siły lub tendencji leżącej u jej podstaw (obecnie zwana często „błędem regresyjnym”) przypomina cytowany fragment.

   (Warto zauważyć, że Secrist był wybitnym statystykiem, autorem jednego z najpopularniejszych podręczników statystycznych opublikowanych w tym czasie. Na JSTOR można znaleźć szarpiącą recenzję Triumph ... autorstwa Harolda Hotellinga opublikowaną w JASA pod koniec 1933 roku. W Hotelling napisał o kolejnej wymianie listów z Secristem

   Moja recenzja ... była głównie poświęcona ostrzeżeniu czytelników, aby nie stwierdzili, że firmy mają skłonność do mierności ... Aby „udowodnić” taki matematyczny wynik kosztownym i długotrwałym badaniem numerycznym ... jest analogiczne do udowodnienia mnożenia stół, układając słonie w rzędach i kolumnach, a następnie robiąc to samo dla wielu innych gatunków zwierząt. Przedstawienie, choć być może zabawne i mające pewną wartość pedagogiczną, nie stanowi istotnego wkładu ani w zoologię, ani w matematykę.

   [JASA Vol. 29, nr 186 (czerwiec 1934), s. 198 i 199].)

   NY Times przejście wydaje się mieć ten sam błąd z danymi handlowymi Apple.

3. Jeśli jednak czytamy dalej w artykule, wkrótce odkrywamy zamierzone przez autora znaczenie:

   Jeżeli cena akcji Apple wzrosły nawet o 20 procent rok do następnej dekady, czyli znacznie poniżej jego obecnej pęcherzy tempie, jego $ 500 mld kapitalizacja rynkowa byłaby bardziej niż $ 3 bilionów 2022.

   Jest to oczywiście stwierdzenie o ekstrapolacji wzrostu wykładniczego. Jako taki zawiera echo prognoz maltuzjańskich populacji . Zagrożenia związane z ekstrapolacją nie ograniczają się jednak do wzrostu wykładniczego. Mark Twain (Samuel Clements) pręgowany bezmyślnych ekstrapolatorów w Life on the Mississippi (1883, rozdział 17):

   Teraz, gdybym chciał być jednym z tych poważnych naukowców i „pozwolić” na udowodnienie ... co wydarzy się w dalekiej przyszłości przez to, co wydarzyło się w ostatnich latach, jaka jest szansa! ... Proszę przestrzegać: -

   W ciągu stu siedemdziesięciu sześciu lat Dolna Missisipi skróciła się o dwieście czterdzieści dwie mile. To średnio drobiazg ponad jedną milę i jedną trzecią rocznie. Dlatego każda spokojna osoba, która nie jest ślepa ani idiotyczna, może zobaczyć, że w „Starym Oolitycznym okresie syluru”, zaledwie milion lat temu, w listopadzie, dolna rzeka Missisipi miała ponad milion trzysta tysięcy mil długości i utknęła nad Zatoką Meksykańską jak wędka. I z tego samego powodu każdy może zobaczyć, że za siedemset czterdzieści dwa lata Dolna Missisipi będzie miała tylko milę i trzy czwarte długości, a Kair i Nowy Orlean połączą się razem na swoich ulicach i będą podążać wygodnie pod jeden burmistrz i wspólna rada radna. W nauce jest coś fascynującego.Można uzyskać takie hurtowe zwroty przypuszczeń z tak drobnej inwestycji faktów. ”

   (Podkreślenie dodane). Satyra Twaina wypada korzystnie w porównaniu z cytatem tego artykułu analityka biznesowego Roberta Cihry:

   Jeśli ekstrapolujesz wystarczająco daleko w przyszłość, aby utrzymać ten wzrost, Apple musiałby sprzedać iPhone'a każdemu mężczyźnie, kobiecie, dziecku, zwierzęciu i kamieniowi na naszej planecie.

   (Niestety, wydaje się, że Cihra nie słucha własnej rady: ocenia tę akcję jako „kup”. Może mieć rację, nie na podstawie zasług, ale na podstawie większej teorii głupców .)

Jeśli uznamy, że ten artykuł oznacza „strzeż się ekstrapolacji poprzedniego wzrostu w przyszłości”, wiele z tego wyciągniemy. Inwestorzy, którzy uważają tę firmę za dobry zakup, ponieważ jej współczynnik PE jest niski (w tym kilku godnych uwagi zarządzających pieniędzmi cytowanych w artykule), nie są lepsi od „poważnych naukowców” Twaina wypaczonych ponad sto lat temu.

Lepsza znajomość Bernoulliego, Hotellinga i Twaina poprawiłaby dokładność i czytelność tego artykułu, ale ostatecznie wydaje się, że dobrze zrozumiał.

Humorystycznie napisałem właśnie wpis na blogu na ten właśnie temat: http://confounding.net/2012/03/12/thats-not-how-the-law-of-large-numbers-works/

Zasadniczo, prawo wielkich liczb jest takie, że wraz ze wzrostem liczby prób losowego procesu średnia tych prób zbliża się do rzeczywistej średniej (lub oczekiwań, w przypadku bardziej złożonych rozkładów). Tak więc, jeśli rzucisz monetą raz i zdobędziesz głowy, Twoje prawdopodobieństwo wyrzucenia głów wynosi 1,0, a gdy rzucisz coraz więcej monet, zbliżasz się coraz bardziej do 0,50.

Autor twierdzi, że Apple będzie miało kłopoty w przyszłości z powodu czegoś, co tak naprawdę wcale nie jest związane z prawem wielkich liczb. Mianowicie, w miarę jak Apple rośnie, ten sam procentowy wzrost ceny akcji, zysków itp. Staje się trudniejszy do osiągnięcia w wartościach bezwzględnych w dolarach. Zasadniczo, aby pozostać na kursie, Apple musi zdobywać coraz większe trafienia.

Powiązanie tego z zachowaniem przypadkowego procesu zbieżnego ze średnią wymaga poważnej gimnastyki umysłowej. O ile mogę stwierdzić, twierdzenie jest takie, że „Niesamowitość twoich produktów” jest procesem losowym i chociaż Apple ma serię niesamowitych „Above Average”, w końcu będą musieli zbliżyć się do „Middling” „. Ale to jest naprawdę charytatywne dla autora.

To, że 500 miliardów to duża liczba, nie oznacza, że ​​działa na nią „prawo wielkich liczb”.

Nie ma powodu, aby sądzić, że ceny akcji w czasie dla konkretnej firmy reprezentują niezależne, identycznie rozmieszczone zmienne losowe.