Czy mean = mode oznacza rozkład symetryczny?

Wiem, że to pytanie zostało zadane w przypadku średnia = mediana, ale nie znalazłem nic związanego z trybem średnia =.

Jeśli tryb jest równy średniej, czy zawsze mogę stwierdzić, że jest to rozkład symetryczny? Czy będę zmuszony znać również medianę dla tego sposobu?

Mean = mode doesn't imply symmetry.

Even if mean = median = mode you still don't necessarily have symmetry.

And in anticipation of the potential followup -- even if mean=median=mode and the third central moment is zero (so moment-skewness is 0), you still don't necessarily have symmetry.

... but there was a followup to that one. NickT asked in comments if having all odd moments zero was enough to require symmetry. The answer to that is also no. [See the discussion at the end.$^\dagger$]

Te różne rzeczy są implikowane przez symetrię (zakładając, że odpowiednie momenty są skończone), ale implikacja nie idzie w drugą stronę - pomimo wielu elementarnych tekstów wyraźnie mówiących inaczej o jednym lub więcej z nich.

Kontrprzykłady są dość proste do zbudowania.

Rozważ następującą dyskretną dystrybucję:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

Ma średnią, medianę, tryb i trzeci moment centralny (a zatem skośność momentu) wszystkie 0, ale jest asymetryczny.

Tego rodzaju przykład można wykonać również z czysto ciągłym rozkładem. Na przykład, oto gęstość o tych samych właściwościach:

Jest to mieszanina o symetrycznych gęstościach trójkątnych (każda o zakresie 2) ze średnimi przy -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 i masach mieszanin 0,08, 0,08, 0,12, 0,08, 0,28, 0,08 Odpowiednio 0,08, 0,20. Fakt, że właśnie to zrobiłem teraz - nigdy wcześniej tego nie widziałem - sugeruje, jak proste są te przypadki.

[Wybrałem trójkątne składniki mieszanki, aby tryb był wizualnie jednoznaczny - można by zastosować płynniejszy rozkład.]

Oto dodatkowy dyskretny przykład odpowiedzi na pytania Hong Ooi dotyczące tego, jak daleko od symetrii pozwalają na to warunki. Nie jest to bynajmniej przypadek ograniczający, to tylko ilustruje, że łatwo jest stworzyć mniej symetryczny przykład:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

Skok przy 0 może być względnie wyższy lub niższy bez zmiany warunków; podobnie punkt po prawej stronie może być umieszczony dalej (ze zmniejszeniem prawdopodobieństwa) bez zmiany wysokości względnej na 1 i -2 (tj. ich względne prawdopodobieństwo pozostanie bliskie stosunkowi 2: 1, gdy przesuniesz się na prawo element około).

Więcej szczegółów na temat odpowiedzi na pytanie NickT

$\dagger$Przypadek zerowy nieparzystych momentów jest poruszany w szeregu pytań na stronie. Jest tutaj przykład (patrz fabuła) oparty na szczegółach tutaj (patrz pod koniec odpowiedzi). Jest to ciągła, jednomodalna gęstość asymetryczna ze wszystkimi nieparzystymi momentami 0 i średnią = mediana = tryb. Mediana wynosi 0 według konstrukcji mieszanki 50-50, tryb wynosi 0 przez kontrolę - wszyscy członkowie rodziny na prawdziwej linii środkowej, z której zbudowany jest przykład, mają gęstość monotoniczną zmniejszającą się od wartości skończonej u źródła , a średnia wynosi zero, ponieważ wszystkie nieparzyste momenty wynoszą 0.

Try this set of numbers:

I wouldn't call that distribution symmetrical.

No.

Let $X$ be a discrete random variable with $p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$, $p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$, and $p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$. Obviously, $X$ is not symmetric, but its mean and mode are both 0.

To repeat an answer I gave elsewhere, but fits here too:

which not only has mean, median and mode all equal, but also has zero skewness. Many other versions are possible.