Jeśli mam oczekiwaną wartość logarytmu RV, czy mogę uzyskać oczekiwaną wartość samego RV?

Zakładać, że $\text{E}[\log(X)]$ jest dane, czy mogę czerpać $\text{E}[X]$ w formacie zamkniętym?

expected-value logarithm

— Theoden
źródło

Czy znasz rozkład log x lub x? Na przykład. jest jest

x

$x$ normalnie dystrybuowany? W najbardziej ogólnym przypadku z

x

$x$ po jakiejkolwiek arbitralnej dystrybucji nie będziesz mógł wiele powiedzieć.

— Matthew Gunn,

Nie. Podana jest tylko średnia wartość log (x).

— Theoden,

Prawie wszystko, co możesz powiedzieć, to

E [\log (x)] \leq \log (E [x])

$\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$ z powodu nierówności Jensena .

— Matthew Gunn,

Nie.

Na przykład jeśli $X$ następuje log normalny rozkład, gdzie $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$ , następnie $E[\log(x)] = \mu$ i jest niezależny od $\sigma$ . Jednak jego średnia to $E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$ . Oczywiście nie można uzyskać $\sigma$ liczba zależna od $\sigma$ niezależny numer.

— jwimberley
źródło

To ma sens. Potrzebuję więcej informacji.

— Theoden,

Lub dla bardzo prostego przykładu, rozważ dyskretne zmienne losowe X (przyjmując wartość 1 z prawdopodobieństwem 1/3 i 10 z prawdopodobieństwem 2/3) i Y (przyjmując wartość 1 z prawdopodobieństwem 2/3 i 100 z prawdopodobieństwem 1/3) . Następnie E [log X] = E [log Y] = 1/3 (lub jakaś inna liczba, jeśli wolisz logarytmy przyjmowane do bardziej sensownej zasady niż 10, ale wciąż równe, ponieważ w dowolnym logu podstawowym 100 = 2 log 10). Jednak E [X]! = E [Y].

— Steve Jessop,