Zmienne losowe, dla których nierówności Markowa i Czebyszewa są ścisłe

Interesuje mnie konstruowanie zmiennych losowych, dla których nierówności Markowa lub Czebyszewa są ścisłe.

Trywialnym przykładem jest następująca zmienna losowa.

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$ . Jego średnia wynosi zero, wariancja wynosi 1, a . W tym przypadku zmienna losowa Czebyszewa jest ścisła (trzyma się na równi).$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

Czy są bardziej interesujące (nierównomierne) zmienne losowe, dla których Markov i Czebyshev są ścisłe? Niektóre przykłady byłyby świetne.

Klasa rozkładów, dla których ogranicza się przypadek związany z Czebyszewem, jest dobrze znana (i wcale nie jest tak trudna do odgadnięcia). Jest znormalizowany pod względem lokalizacji i skali

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

Jest to (w skali) rozwiązanie podane na stronie Wikipedii dotyczące nierówności Czebyszewa .

[Możesz napisać sekwencję rozkładów (umieszczając więcej prawdopodobieństwa w środku z tym samym równomiernie usuniętym z punktów końcowych), które ściśle spełniają nierówność i podchodzą do tego ograniczającego przypadku tak dokładnie, jak chcesz.]$\epsilon>0$

Inne rozwiązanie może być uzyskane poprzez położenie i skali zmian tego niech .$X=\mu+\sigma Z$

Dla nierówności Markowa niechwięc masz prawdopodobieństwo przy 0 i przy . (Można tu wprowadzić parametr skali, ale nie parametr lokalizacji)$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$$k$

Nierówności chwilowe - a nawet wiele innych podobnych nierówności - mają tendencję do dyskretnych rozkładów jako ograniczających przypadków.

Uważam, że uzyskanie ciągłego rozkładu na całej rzeczywistej osi, która dokładnie odpowiada granicy Czeczeszewa, może być niemożliwe.

Załóżmy, że średnia i odchylenie standardowe rozkładu ciągłego wynoszą 0 i 1, lub uczyń to poprzez przeskalowanie. Następnie wymagaj . Dla uproszczenia rozważ ; wartości ujemne zostaną określone symetrycznie. Zatem CDF rozkładu wynosi . I tak pdf, pochodna cdf, to . Oczywiście należy to zdefiniować tylko dla powodu nieciągłości. W rzeczywistości nie może to być prawdą wszędzie, lub całka pdf nie jest skończona. Zamiast tego, aby uniknąć nieciągłości (np. Pdf cat ma po prostu 0 dla ), pdf musi być podzielony na części, równy dla$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$ .

Jednak rozkład ten nie spełnia hipotezy - nie ma skończonej wariancji. Aby uzyskać ciągły rozkład na osi rzeczywistej ze skończoną wariancją, oczekiwane wartości i muszą być skończone. Badając odwrotne wielomiany, ogony, które idą jak prowadzą do skończonego , ale niezdefiniowanego ponieważ wiąże się to z całką o asymptotycznie logarytmicznym zachowaniu.$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$

Tak więc granica Czebycheva nie może być dokładnie zaspokojona. Możesz jednak wymagać dla arbitralnie małych . Ogon pliku pdf ma postać i ma określoną wariancję rzędu .$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

Jeśli chcesz pozwolić, aby dystrybucja żyła tylko na części rzeczywistej linii, ale nadal była ciągła, to zdefiniuj dla działa dla i lub dowolne ich skalowanie liniowe - ale jest to w zasadzie , co nie jest dużym zakresem. I wątpliwe jest, czy to ograniczenie jest nadal zgodne z pierwotną motywacją.$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$$\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$