Kto stworzył pierwszy standardowy stół normalny?

Mam zamiar przedstawić standardową tabelę normalną w mojej klasie wprowadzającej i zastanawiam się: kto stworzył pierwszą standardową tabelę normalną? Jak to zrobili, zanim pojawiły się komputery? Drżę na myśl o kimś brutalnym, który ręcznie oblicza tysiąc sum Riemanna.

Laplace jako pierwszy rozpoznał potrzebę tabelaryczną, przedstawiając przybliżenie:

Pierwszy nowoczesny stół o rozkładzie normalnym został później zbudowany przez francuskiego astronoma Christiana Krampa w Analyze des Réfractions Astronomiques et Terrestres (Par le citoyen Kramp, Professeur de Chymie et de Physique expérimentale à l'école centrale du Département de la Roer, 1799) . Z tabel związanych z normalnym rozkładem: krótka historia Autor (autorzy): Herbert A. David Źródło: The American Statistician, t. 59, nr 4 (listopad 2005), s. 309–311 :

Ambitiously, otrzymano osiem Kramp dziesiętny ( $8$ D) stoły do $x = 1.24,$ $9$ D do $1.50,$ $10$ D do $1.99,$ i $11$ D $3.00$ razem z różnicami potrzebnych do interpolacji. Zapisując pierwsze sześć pochodnych $G(x),$ po prostu używa rozszerzenia szeregu Taylora o $G(x + h)$ o $G(x),$ gdzie $h = .01,$do terminu w 3$h^3.$To pozwala mu przejść krok po kroku od $x = 0$ do $x = h, 2h, 3h,\dots,$ po pomnożeniu $h\,e^{-x^2}$ o

$$1-hx+ \frac 1 3 \left(2x^2 - 1\right)h^2 - \frac 1 6 \left(2x^3 - 3x\right)h^3.$$ Zatem przy$x = 0$ten produkt zmniejsza się do $$.01 \left(1 - \frac 1 3 \times .0001 \right) = .00999967,$$ tak że przy$G(.01) = .88622692 - .00999967 = .87622725.$

Ale ... jak dokładny mógłby być? OK, weźmy $2.97$ jako przykład:

Niesamowity!

Przejdźmy do nowoczesnego (znormalizowanego) wyrażenia gaussowskiego pdf:

$\mathscr N(0,1)$

$z = \frac{x}{\sqrt{2}}$$x = z \times \sqrt{2}$

$P_Z(Z>z=2.97)$$e^{ax}$$1/a$$x$$\sqrt{2}$

$\sqrt{2\pi}$

$z=2.97$$x=z\times \sqrt{2}=4.200214$

(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.00002363235e-05

Fantastyczny!

$0.06$

z = 0.06
(x = z * sqrt(2))

(R = sqrt(pi) * pnorm(x, lower.tail = F))
[1] 0.8262988

$0.82629882$

Tak blisko...

Chodzi o to ... jak dokładnie dokładnie? Po wszystkich otrzymanych głosach nie mogłem pozostawić faktycznej odpowiedzi zawieszonej. Problem polegał na tym, że wszystkie aplikacje optycznego rozpoznawania znaków (OCR), które wypróbowałem, były niesamowicie wyłączone - nic dziwnego, jeśli spojrzałeś na oryginał. Nauczyłem się więc doceniać Christiana Krampa za wytrwałość jego pracy, kiedy osobiście wpisałem każdą cyfrę w pierwszej kolumnie jego Premiery stołowej .

Po cennej pomocy @Glen_b, teraz może być bardzo dokładna i jest gotowa do skopiowania i wklejenia na konsoli R w tym łączu GitHub .

Oto analiza dokładności jego obliczeń. Przygotuj się...

1. Bezwzględna skumulowana różnica między wartościami [R] a przybliżeniem Krampa:

$0.000001200764$$301$$1$

2. Średni błąd bezwzględny (MAE) lubmean(abs(difference))zdifference = R - kramp:

$0.000000003989249$$3$ miliardowy błąd średnio!

Na wejściu, w którym jego obliczenia były najbardziej rozbieżne w porównaniu z [R], pierwsza inna wartość miejsca dziesiętnego znajdowała się na ósmej pozycji (setna milionowa). Średnio (mediana) jego pierwszy „błąd” był w dziesiątej cyfrze dziesiętnej (dziesiąta miliardowa!). I chociaż w żadnym wypadku nie do końca zgadzał się z [R], najbliższy wpis nie różni się aż do trzynastu cyfrowych wpisów.

3. Średnia różnica względna lub mean(abs(R - kramp)) / mean(R)(taka sama jak all.equal(R[,2], kramp[,2], tolerance = 0)):

$0.00000002380406$

4. Błąd średniej kwadratowej (RMSE) lub odchylenie (przypisuje większą wagę dużym błędom), obliczane jakosqrt(mean(difference^2)):

$0.000000007283493$

Jeśli znajdziesz zdjęcie lub portret Chistian Kramp, edytuj ten post i umieść go tutaj.

Według HA Davida [1] Laplace uznał potrzebę tabel rozkładu normalnego „już w 1783 r.”, A pierwszy stół normalny został opracowany przez Krampa w 1799 r.

$0$$x$$e^{-t^2}$$\frac{_1}{^2}$ ) i jeden dla górnego ogona.

Jednak Kramp nie używał tych serii Laplace'a, ponieważ w odstępach czasowych można było je z powodzeniem zastosować.

$x$$G(x+h)$$G$ jest całką dającą górną część ogona).

Konkretnie, cytując kilka zdań:

$G(x + h)$$G(x)$$h = .01$$h^3$$x = 0$$x = h, 2h, 3h,...$$he^{-x^2}$

$$1-hx+ \frac13(2x^2 - 1)h^2 - \frac16(2x^3 - 3x)h^3.$$ $x = 0$ $$.01 (1 - \frac13 \times .0001 ) = .00999967,\qquad\qquad (4)$$ $G(.01) = .88622692 - .00999967 = .87622725$$10^{-9}$

David wskazuje, że tabele były szeroko stosowane.

Więc zamiast tysięcy sum Riemanna były to setki ekspansji Taylora.

Z drugiej strony, w skrócie (utknąłem tylko z kalkulatorem i kilkoma zapamiętanymi wartościami ze zwykłej tabeli) całkiem skutecznie zastosowałem regułę Simpsona (i powiązane reguły integracji numerycznej), aby uzyskać dobre przybliżenie innych wartości; to nie wszystko , że żmudne produkować skróconej tabeli * do kilku figur dokładnością. [Opracowanie tabel skali i dokładności Krampa byłoby jednak dość dużym zadaniem, nawet przy użyciu mądrzejszej metody, tak jak on.]

* Przez tabelę skróconą mam na myśli taką, w której można w zasadzie uniknąć interpolacji między wartościami tabelarycznymi bez utraty zbyt dużej dokładności. Jeśli chcesz tylko powiedzieć około 3 dokładności rysunku naprawdę nie trzeba obliczyć wszystko że wiele wartości. Skutecznie zastosowałem interpolację wielomianową (a dokładniej zastosowałem techniki różnic skończonych), co pozwala na utworzenie tabeli z mniejszą liczbą wartości niż interpolacja liniowa - jeśli nieco więcej wysiłku na etapie interpolacji - a także dokonałem interpolacji z transformacją logit, która sprawia, że ​​interpolacja liniowa jest znacznie bardziej skuteczna, ale jest przydatna tylko wtedy, gdy masz dobry kalkulator).

[1] Herbert A. David (2005),
„Tabele związane z rozkładem normalnym: krótka historia”
The American Statistician , t. 59, nr 4 (listopad), s. 309–311

[2] Kramp (1799),
Analyze des Réfractions Astronomiques et Terrestres,
Lipsk: Schwikkert

Ciekawy problem! Myślę, że pierwszy pomysł nie powstał dzięki integracji złożonej formuły; raczej wynik zastosowania asymptotyków w kombinatoryce. Metoda pióra i papieru może potrwać kilka tygodni; nie tak trudne dla Karla Gaussa w porównaniu do obliczania ciasta dla jego poprzedników. Myślę, że pomysł Gaussa był odważny; obliczenia były dla niego łatwe.

Przykład tworzenia od podstaw standardowej tabeli z
1. Weź populację liczb n (powiedzmy, że 20) i wypisz z niej wszystkie możliwe próbki wielkości r (powiedzmy, że 5).
2. obliczyć średnie próbki. Otrzymujesz średnie próbki nCr (tutaj 20c5 = 15504 oznacza).
3. Ich średnia jest taka sama jak średnia populacji. Znajdź standardową próbkę środków.
4. Znajdź wyniki z średnich z próby za pomocą tych średnich pop i średnich z próbek.
5. Sortuj zw kolejności rosnącej i znajdź prawdopodobieństwo, że z znajdzie się w zakresie wartości nCr.
6. Porównaj wartości z normalnymi tabelami. Mniejszy n jest dobry do obliczeń ręcznych. Większe n spowoduje uzyskanie przybliżonych przybliżeń normalnych wartości w tabeli.

Poniższy kod znajduje się w:

n <- 20  
r <- 5  

p <- sample(1:40,n)  # Don't be misled!! Here, 'sample' is an r function  
                     used to produce n random numbers between 1 and 40.  
                     You can take any 20 numbers, possibly all different.  

c <- combn(p, r)     # all the nCr samples listed  
cmean <- array(0)  

for(i in 1:choose(n,r)) {  
    cmean[i] <- mean(c[,i])  
                }  

z <- array(0)  
for(i in 1:choose(n,r)) {  
    z[i] <- (cmean[i]-mean(c))/sd(cmean)  
                }  

ascend <- sort(z, decreasing = FALSE)  

Prawdopodobieństwo, że z spadnie między 0 a wartością dodatnią q poniżej; porównaj ze znaną tabelą. Manipuluj q poniżej między 0 a 3,5, aby porównać.

q <- 1  
probability <- (length(ascend[ascend<q])-length(ascend[ascend<0]))/choose(n,r)   
probability   # For example, if you use n=30 and r=5, then for q=1, you  
              will get probability is 0.3413; for q=2, prob is 0.4773