Łatwiejszy sposób na znalezienie ?

Rozważ 3 próbki pobrane z rozkładu jednolitego , gdzie jest parametrem. Chcę znaleźć gdzie to statystyka zamówień .$u(\theta, 2\theta)$$\theta$

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right]$$ $X_{(i)}$$i$

Spodziewałbym się, że wynikiem będzie Ale jedynym sposobem na pokazanie tego wyniku wydaje się być zbyt długo, nie mogę wymyślić prostego rozwiązania, czy coś mi brakuje, czy jest jakiś skrót?

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \frac{X_{(1)}+ X_{(3)}}{2}$$

---

Co robię to:

• Znajduję gęstość warunkową

  $$f(x_{(2)}| x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{ f(x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f(x_{(1)}, x_{(3)})}$$

• Integruję

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \int x f(x| x_{(1)}, x_{(3)}) dx$$

---

Detale:

Przyjmuję ogólną formułę statystyki gęstości zamówień (z wskaźnikiem zbioru )$\mathbb{I}_{\{A\}}$$A$

$$f_{x_{(1)},\ldots , x_{(n)}}(x_1,\cdots, x_n) = n! \prod_{i=1}^n f_{x}(x_i)\mathbb{I}_{\{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}\}}(x_1,\cdots, x_n)$$

uzyskać dla mojej sprawy

$$f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(x_1, x_2, x_3) = 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n\}}(x_1,\cdots, x_3)$$

marginalny z jest$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v)$

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(u, x_2, v) dx_2$$

to jest

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 = u \leq x_2 \leq x_3 = v\}}(u, x, v) dx = 3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]$$

dlatego

$$f(x_{(2)}| x_{(2)} = u, x_{(3)} = v) = \frac{ f(x_{(1)} = u, x_{(2)}, x_{(3)} = v)}{f(x_{(1)}= u, x_{(3)} = v)} = \frac{3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{u \leq x_2 \leq \cdots \leq v}(u,x_2, v) }{3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]}= [v-u]^{-1}\mathbb{I}_{\{u<x_2<v\}}$$

co daje

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)} = u, X_{(3)} = v\right] = [v-u]^{-1}\int_{u}^{v} x dx = [v-u]^{-1}\frac{ [v^2 - u^2]}{2} = \frac{u+v}{2}$$

Ponieważ wszystkie mają rozkład równomierny, wszystkie zmienne (nieuporządkowane) są przyjmowane jako niezależne, a żadna inna statystyka rzędu nie znajduje się między a , ma skrócony jednolity rozkład obsługiwane w przedziale . Jego średnia to oczywiście , QED.$X_i$$X_{(1)}$$X_{(3)}$ $X_{(2)}$$[X_{(1)}, X_{(3)}]$$(X_{(1)}+X_{(3)})/2$

---

Jeśli chcesz formalnej demonstracji, zwróć uwagę, że gdy mają dokładnie ciągły rozkład , gęstość warunkowa ( zależna od wszystkich innych statystyk rzędu) wynosi , który jest rozkładem obciętym. (Gdy , przyjmuje się jako ; a gdy , przyjmuje się jako ). Wynika to ze Wspólnego pdf funkcji porządku na przykład statystyki wraz z definicją gęstości warunkowych.$X_i$$F$$X_{(k)}$$dF(x_k)/(F(x_{(k+1)}) - F(x_{(k-1)}))$$k=1$$F(x_{0})$$0$$k=n$$F(x_{n+1})$$1$