Przestrzenie prawdopodobieństwa i aksjomaty Kołmogorowa
Przestrzeń prawdopodobieństwa jest z definicji potrójnym gdzie jest zbiorem wyników, jest -algebra na podzbiory i to miara prawdopodobieństwa, która spełnia aksjomaty Kołmogorowa, tzn. jest funkcją od do tak że a dla rozłącznych w utrzymuje, że ( Ω , F , P ) Ω F σ Ω P P F [ 0 , 1 ] P ( Ω ) = 1 E 1 , E 2 , … F P ( ∪ ∞ j = 1 E j ) = ∑ ∞ j = 1 P ( E j )P(Ω,F,P)ΩFσΩPPF[0,1]P(Ω)=1E1,E2,…FP(∪∞j=1Ej)=∑∞j=1P(Ej).
W takiej przestrzeni prawdopodobieństwa można dla dwóch zdarzeń w zdefiniować prawdopodobieństwo warunkowe jakoF P ( E 1 | E 2 ) d e f = P ( E 1 ∩ E 2 )E1,E2FP(E1|E2)=defP(E1∩E2)P(E2)
Uwaga:
- to „prawdopodobieństwo warunkowe” jest zdefiniowane tylko wtedy, gdy jest zdefiniowane w , więc potrzebujemy przestrzeni prawdopodobieństwa, aby móc zdefiniować prawdopodobieństwa warunkowe.F.PF
- Przestrzeń prawdopodobieństwa określa się w bardzo ogólnych ( zestaw , -algebra i środek prawdopodobieństwo ), przy czym jedynym warunkiem jest to, że pewne właściwości powinny zostać zrealizowane, ale oprócz tego te trzy elementy mogą być „czymkolwiek”.σ F PΩ σFP
Więcej szczegółów można znaleźć w tym linku
Reguła Bayesa obowiązuje w dowolnej (prawidłowej) przestrzeni prawdopodobieństwa
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego wynika również, że . Z dwóch ostatnich równań odnajdujemy zasadę Bayesa. Tak więc reguła Bayesa (z definicji prawdopodobieństwa warunkowego) zachowuje się w dowolnej przestrzeni prawdopodobieństwa (aby to pokazać, wyprowadza i z każdego równania i równania je (są równe, ponieważ przecięcie jest przemienne)). P(E1∩E2)P(E2∩E1)P(E2|E1)=P(E2∩E1)P(E1)P(E1∩E2)P(E2∩E1)
Ponieważ reguła Bayesa jest podstawą wnioskowania bayesowskiego, można przeprowadzić analizę bayesowską w dowolnej prawidłowej (tj. Spełniającej wszystkie warunki, np. Aksjomaty Kołmogorowa).
Częstotliwościowa definicja prawdopodobieństwa jest „przypadkiem szczególnym”
Powyższe dotyczy „w ogóle”, tzn. Nie mamy na myśli konkretnego , , , o ile jest -algebra na podzbiorach a spełnia aksjomaty Kołmogorowa.F P F σ Ω PΩFPFσΩP
Pokażemy teraz, że definicja „ „ częstego ” spełnia aksjomaty Kołomogorowa. W takim przypadku prawdopodobieństwa „częstych” są jedynie szczególnym przypadkiem ogólnego i abstrakcyjnego prawdopodobieństwa Kołmogorowa. P
Weźmy przykład i rzuć kostką. Zatem zestaw wszystkich możliwych wyników to . Potrzebujemy również -algebra na tym zestawie i bierzemy zestaw wszystkich podzbiorów , tj. .Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } σ Ω F Ω F = 2 ΩΩΩ={1,2,3,4,5,6}σΩFΩF=2Ω
Nadal musimy często określać miarę prawdopodobieństwa . Dlatego definiujemy jako gdzie jest liczbą uzyskanych w rzutach kości. Podobnie jest w przypadku , ... .PP({1}) n11nP({2})P({6})P({1})=deflimn→+∞n1nn11nP({2})P({6})
W ten sposób zdefiniowano dla wszystkich singletonów w . Dla każdego innego zestawu w , np. , definiujemy w częsty sposób, tj.
, ale według liniowości „lim” jest to równe , co oznacza, że trzymają się aksjomaty Kołmogorowa.PFF{1,2}P({1,2})P({1,2})=deflimn→+∞n1+n2nP({1})+P({2})
Tak więc częstokształtna definicja prawdopodobieństwa jest tylko szczególnym przypadkiem ogólnej i abstrakcyjnej definicji miary prawdopodobieństwa Kołomogorowa.
Zauważ, że istnieją inne sposoby zdefiniowania miary prawdopodobieństwa, która spełnia aksjomaty Kołmogorowa, więc definicja częstokroć nie jest jedyną możliwą.
Wniosek
Prawdopodobieństwo w systemie aksjomatycznym Kołmogorowa jest „abstrakcyjne”, nie ma rzeczywistego znaczenia, musi jedynie spełniać warunki zwane „aksjomatami”. Używając tylko tych aksjomatów Kołmogorow był w stanie wyprowadzić bardzo bogaty zestaw twierdzeń.
Częstotliwościowa definicja prawdopodobieństwa wypełnia aksjomaty, a zatem zastępując abstrakcyjne „bez znaczenia” prawdopodobieństwem zdefiniowanym w częsty sposób, wszystkie te twierdzenia są ważne, ponieważ „prawdopodobieństwo częstości” przypadek abstrakcyjnego prawdopodobieństwa Kołmogorowa (tzn. spełnia aksjomaty).P
Jedną z właściwości, które można uzyskać w ogólnych ramach Kołmogorowa, jest reguła Bayesa. Jak ma to miejsce w ogólnych i abstrakcyjnych ramach, będzie również utrzymywał (cfr supra) w konkretnym przypadku, że prawdopodobieństwa są definiowane w sposób częsty (ponieważ definicja częstościowa spełnia aksjomaty i te aksjomaty były jedyną rzeczą, która jest potrzebna do wyprowadzić wszystkie twierdzenia). Można więc przeprowadzić analizę bayesowską z częstokroć definiującą prawdopodobieństwem.
Definiowanie w częsty sposób nie jest jedyną możliwością, istnieją inne sposoby zdefiniowania go tak, aby spełniał abstrakcyjne aksjomaty Kołmogorowa. Zasada Bayesa obowiązuje również w tych „szczególnych przypadkach”. Tak też można zrobić analizę Bayesa z nieprzestrzegania -frequentist definicji prawdopodobieństwa.P
EDYCJA 23.08.2016
Reakcja @mpiktas na Twój komentarz:
Jak powiedziałem, zbiory i miara prawdopodobieństwa nie mają szczególnego znaczenia w systemie aksjomatycznym, są abstrakcyjne. Ω,FP
Aby zastosować tę teorię, musisz podać dalsze definicje (więc to, co mówisz w swoim komentarzu „nie ma potrzeby dalszego pomieszania z niektórymi dziwacznymi definicjami” jest błędne, potrzebujesz dodatkowych definicji ).
Zastosujmy to do przypadku rzutu uczciwą monetą. Zbiór w teorii Kołmogorowa nie ma szczególnego znaczenia, musi po prostu być „zbiorem”. Musimy więc określić, czym jest ten zestaw w przypadku uczciwej monety, tzn. Musimy zdefiniować zestaw . Jeśli reprezentujemy głowę jako H, a ogon jako T, to zestaw jest z definicji .ΩΩΩ Ω=def{H,T}
Musimy także zdefiniować zdarzenia, tj. -algebra . Definiujemy jako . Łatwo jest zweryfikować, że to -algebra.σFF=def{∅,{H},{T},{H,T}}Fσ
Następnie musimy zdefiniować dla każdego zdarzenia w jego miarę. Musimy więc zdefiniować mapę z w . Zdefiniuję to w sposób częsty, dla uczciwej monety, jeśli rzuciłem ją ogromną liczbę razy, wówczas ułamek głów wyniesie 0,5, więc zdefiniuję . Podobnie definiuję , i . Zauważ, że jest mapą z w i że spełnia aksjomaty Kołmogorowa.E∈FF[0,1]P({H})=def0.5P({T})=def0.5P({H,T})=def1P(∅)=def0PF[0,1]
Odwołanie do częstokształtnej definicji prawdopodobieństwa znajduje się w tym łączu (na końcu sekcji „definicja”) i w tym łączu .