Średnia odwrotnego rozkładu wykładniczego

Biorąc pod uwagę zmienną losową , jaka jest średnia i wariancja G = $Y = Exp(\lambda)$ ?$G=\dfrac{1}{Y}$

Patrzę na odwrotny rozkład gamma, ale średnia i wariancja są zdefiniowane tylko odpowiednio dla i α > 2 ...$\alpha>1$$\alpha>2$

Biorąc pod uwagę, że odwrotny rozkład wykładniczy ma , natknąłeś się na fakt, że średnia odwrotnego wykładniczego wynosi ∞ . Dlatego też wariancja odwrotności wykładniczej jest niezdefiniowana.$\alpha = 1$$\infty$

Jeśli jest odwrotnością rozkładu wykładniczego, to E ( G r ) istnieje i jest skończone dla r < 1 , a = ∞ dla r = 1 .$G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Pokażę obliczenie średniej rozkładu wykładniczego, aby przywołało cię podejście. Następnie wybiorę odwrotny wykładniczy z tym samym podejściem.

Biorąc pod uwagę $f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Całkowanie przez część (na razie zignoruj przed całką),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

Pomnóż przez przed całką,$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

Oszacuj dla i ∞ ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

Które są znanymi wynikami.

$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

Główną różnicą jest to, że w przypadku integracji częściami

$u = y^{-1}$

i

$du = -1y^{-2}$

$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

Po szybkiej symulacji (w R) wydaje się, że średnia nie istnieje:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Dla porównania, oto co dzieje się z prawdziwą wykładniczą zmienną losową.