Rozkład kwadratowej postaci normalnej

Próbuję ustalić rozkład gdzie , iid wiem, że biorąc każdy z tych warunków osobno, i Ale nie jestem pewien co do dystrybucji (*)

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— Zailei Chen
źródło

Witamy na naszej stronie! Czy to pytanie z kursu lub podręcznika? Jeśli tak, dodaj [self-study]tag i przeczytaj jego wiki . W przeciwnym razie byłoby interesujące wiedzieć, w jakim kontekście pojawił się ten problem. Dziękujemy za pokazanie nam, co zrobiłeś i gdzie utknąłeś

— Silverfish,

@Silverfish Nie, to tylko coś, co próbuję rozgryźć. Rozwikłałem problem do tego prostego pytania; obawiam się, że mój pierwotny problem jest nieco bardziej skomplikowany. Próbowałem więc zapytać tylko o tę część, w której naprawdę potrzebuję pomocy. Ale jeśli wygląda to na problem z podręcznikiem, byłbym bardzo zainteresowany, aby dowiedzieć się, z którego tekstu, mając nadzieję, że zawiera odpowiednie informacje :)

— Zailei Chen

To wydaje się rozsądne! Ponadto, dziękuję za zastosowanie składu lateksowego, zawsze doceniamy wysiłek

— Silverfish

Oto próba :

Rozważ tak, że i z $Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

Nie jestem pewien, czy można go zredukować do niezgłębionego MGF.

— prawoskrętny
źródło

Pewna dyskusja na temat nieco bardziej ogólnej sytuacji pojawia się na stronie stats.stackexchange.com/questions/72479 , z odniesieniem do artykułu, który oferuje przybliżenie.

— whuber