Korelacja między sinusem a cosinusem

Załóżmy, że jest równomiernie rozmieszczony na . Niech i . Pokaż, że korelacja między i wynosi zero. $X$ $[0, 2\pi]$ $Y = \sin X$ $Z = \cos X$ $Y$ $Z$

Wydaje się, że musiałbym znać standardowe odchylenie sinus i cosinus oraz ich kowariancję. Jak mogę je obliczyć?

Myślę, że muszę założyć, że ma rozkład równomierny, a spojrzenie na zmienione zmienne i . Wówczas prawo nieświadomego statystyki dałoby oczekiwaną wartość $X$ $Y=\sin(X)$ $Z=\cos(X)$

E [Y] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \sin (x) d x

$E[Y] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \sin(x)dx$ i

E [Z] = \frac{1}{b - a} \int_{- \infty}^{\infty} \cos (x) d x

$E[Z] = \frac{1}{b-a}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(x)dx$

(gęstość jest stała, ponieważ jest równomiernym rozkładem i dlatego można ją wyprowadzić z całki).

Jednak te całki nie są zdefiniowane (ale myślę, że mają podstawowe wartości Cauchy'ego równe zero).

Jak mogę rozwiązać ten problem? Wydaje mi się, że znam rozwiązanie (korelacja wynosi zero, ponieważ sinus i cosinus mają przeciwne fazy), ale nie mogę znaleźć sposobu, aby je uzyskać.

— nieuczciwy
źródło

Jak już wspomniano, twój problem nie został wystarczająco zdefiniowany. Korelacja to koncepcja, która dotyczy zmiennych losowych, a nie funkcji. (Formalnie zmienna losowa jest rodzajem funkcji, mianowicie funkcją mierzalną od przestrzeni prawdopodobieństwa do liczb rzeczywistych wyposażonych w miarę Borela. Ale samo powiedzenie „funkcja sinusoidy” nie mówi nic o miary prawdopodobieństwa w domena, która dostarcza ci informacji probabilistycznych, w tym wspólnych dystrybucji.)

— Kodiolog

Jeśli założę, że czas jest jednolitą zmienną losową ( w moim tekście), czy nie jest to możliwe? Mam na myśli, że przyjrzałbym się wówczas korelacji dwóch transformowanych zmiennych losowych.

X

$X$

— uklady

Więc chcesz równomiernie rozłożone, a następnie zdefiniujesz i ? To dobrze, z wyjątkiem tego, że musisz także określić obsługę gęstości , ponieważ nie ma równomiernego rozkładu w całym lub innym nieskończenie długim przedziale.

X

$X$

Y = \sin X

$Y = \sin X$

Z = \cos X

$Z = \cos X$

X

$X$

ℝ

$ℝ$

— Kodiolog

Może mógłbym wziąć jako wsparcie (przyjąłbym, że , więc przedział zawiera jeden pełny cykl).

[0, 2 * p i]

$[0, 2*pi]$

f = 1

$f=1$

— Wydaje

Jeśli to zrobisz, wystarczy narysować wykres rozrzutu - integracja nie jest konieczna. Ten wykres rozrzutu jest równomiernym rozkładem na okręgu jednostki (oczywiście). Ponieważ okrąg jest symetryczny pod dowolnym odbiciem przez początek, korelacja jest równa jego ujemnemu, skąd musi wynosić zero, QED .

— whuber

\begin{aligned} Cov (Y, Z) & = E [(Y - E [Y]) (Z - E [Z])] \\ = E [(Y - \int_{0}^{2 π} \sin x d x) (Z - \int_{0}^{2 π} \cos x d x)] \\ = E [(Y - 0) (Z - 0)] \\ = E [Y Z] \\ = \int_{0}^{2 π} \sin x \cos x d x \\ = 0, \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{Cov}(Y, Z) &= E[(Y - E[Y])(Z - E[Z])] \\ &= E[(Y - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \sin x \;dx)(Z - {\textstyle \int}_0^{2\pi} \cos x \;dx)] \\ &= E[(Y - 0)(Z - 0)] \\ &= E[YZ] \\ &= \int_0^{2\pi} \sin x \cos x \;dx \\ &= 0 , \end{align}$

korelacja musi również wynosić 0.

— Kodiolog
źródło

I naprawdę jak na @ whuber argumentu z symetrii i nie ma to być utracone w komentarzu, więc tutaj jest trochę opracowania.

Rozważ losowy wektor , gdzie , a , dla . Następnie, ponieważ parametryzuje okrąg jednostkowy według długości łuku, rozkłada się równomiernie na okręgu jednostkowym. W szczególności rozkład jest taki sam jak rozkład . Ale wtedy $(X, Y)$ $X = \cos(U)$ $Y = \sin(U)$ $U \sim U(0, 2 \pi)$ $\theta \mapsto (\cos(\theta), \sin(\theta))$ $(X, Y)$ $(-X, Y)$ $(X, Y)$

- Cov (X, Y) = Cov (- X, Y) = Cov (X, Y)

$- \text{Cov} (X, Y) = \text{Cov} (-X, Y) = \text{Cov} (X, Y)$

więc musi być tak, że . $\text{Cov} (X, Y) = 0$

Po prostu piękny geometryczny argument.

— Matthew Drury
źródło