Dlaczego średnia arytmetyczna jest mniejsza niż średnia rozkładu w rozkładzie logarytmiczno-normalnym?

Tak, mam losowy proces generowania log-normalnie rozprowadzane zmiennych losowych . Oto odpowiednia funkcja gęstości prawdopodobieństwa:$X$

Chciałem oszacować rozkład kilku chwil pierwotnego rozkładu, powiedzmy pierwszy moment: średnią arytmetyczną. Aby to zrobić, narysowałem 100 losowych zmiennych 10000 razy, aby móc obliczyć 10000 oszacowania średniej arytmetycznej.

Istnieją dwa różne sposoby oszacowania tego (przynajmniej tak zrozumiałem: mogłem się mylić):

1. przez zwykłe obliczenie średniej arytmetycznej w zwykły sposób: $$\bar{X} = \sum_{i=1}^N \frac{X_i}{N}.$$
2. lub przez pierwsze oszacowanie i μ z podstawowego rozkładu normalnego: μ = N ∑ i = 1 log ( X i$\sigma$$\mu$ a następnie średnia jako ˉ X =exp(μ+ $$\mu = \sum_{i=1}^N \frac{\log (X_i)}{N} \quad \sigma^2 = \sum_{i=1}^N \frac{\left(\log (X_i) - \mu\right)^2}{N}$$ $$\bar{X} = \exp(\mu + \frac{1}{2}\sigma^2).$$

Problem polega na tym, że rozkłady odpowiadające każdemu z tych oszacowań są systematycznie różne:

Średnia „zwykła” (reprezentowana jako czerwona linia przerywana) zapewnia ogólnie niższe wartości niż wartość wyprowadzona z postaci wykładniczej (zielona prosta linia). Chociaż oba średnie są obliczane na podstawie dokładnie tego samego zestawu danych. Należy pamiętać, że ta różnica jest systematyczna.

Dlaczego te rozkłady nie są równe?

$N$$\exp[\mu+1/2\sigma^2]$

$\bar X\to_pE(X_i)$

$$\exp[\hat\mu+1/2\hat\sigma^2]\to_p\exp[\mu+1/2\sigma^2],$$ $\hat\mu\to_p\mu$$\hat\sigma^2\to_p\sigma^2$

MLE nie jest jednak obiektywne.

$N$$\hat\mu$$\hat\sigma^2$$N=100$$N-1$$\mu$$\sigma^2$

$E(\hat\mu+1/2\hat\sigma^2)\approx\mu+1/2\sigma^2$

$$E[\exp(\hat\mu+1/2\hat\sigma^2)]>\exp[E(\hat\mu+1/2\hat\sigma^2)]\approx \exp[\mu+1/2\sigma^2]$$

$N=100$

$N=1000$

Utworzono za pomocą:

N <- 1000
reps <- 10000

mu <- 3
sigma <- 1.5
mm <- mle <- rep(NA,reps)

for (i in 1:reps){
  X <- rlnorm(N, meanlog = mu, sdlog = sigma)
  mm[i] <- mean(X)

  normmean <- mean(log(X))
  normvar <- (N-1)/N*var(log(X))
  mle[i] <- exp(normmean+normvar/2)
}
plot(density(mm),col="green",lwd=2)
truemean <- exp(mu+1/2*sigma^2)
abline(v=truemean,lty=2)
lines(density(mle),col="red",lwd=2,lty=2)

> truemean
[1] 61.86781

> mean(mm)
[1] 61.97504

> mean(mle)
[1] 61.98256

$\exp(\mu+\sigma^2/2)$

$$V_t = (\sigma^2 + \sigma^4/2)\cdot \exp\left\{2(\mu + \frac 12\sigma^2)\right\},$$ $$\exp\left\{2(\mu + \frac 12\sigma^2)\right\}(\exp\{\sigma^2\}-1)$$ $$\exp\{\sigma^2\}>1+\sigma^2 + \sigma^4/2,$$ $\exp(x)=\sum_{i=0}^\infty x^i/i!$$\sigma^2>0$

$N$N <- c(50,100,200,500,1000,2000,3000,5000)

$N$$N$$N=50$

> tail(sort(mm))
[1] 336.7619 356.6176 369.3869 385.8879 413.1249 784.6867
> tail(sort(mle))
[1] 187.7215 205.1379 216.0167 222.8078 229.6142 259.8727