Czy możemy użyć próbek bootstrap, które są mniejsze niż próbka oryginalna?

12

Chcę użyć ładowania początkowego, aby oszacować przedziały ufności dla szacowanych parametrów z zestawu danych panelu z N = 250 firmami i T = 50 miesiącami. Oszacowanie parametrów jest drogie obliczeniowo (kilka dni obliczeń) ze względu na zastosowanie filtrowania Kalmana i złożonej estymacji nieliniowej. Dlatego pobieranie (z zastąpieniem) próbek B (w setkach lub więcej) M = N = 250 firm z próbki oryginalnej i szacowanie parametrów czasów B jest obliczeniowo niewykonalne, mimo że jest to podstawowa metoda ładowania początkowego.

Zastanawiam się więc nad użyciem mniejszego M (np. 10) dla próbek bootstrap (zamiast pełnego rozmiaru N = 250), losowo rysowanych z zamiennikiem z oryginalnych firm, a następnie skalować oszacowaną przez bootstrap macierz kowariancji parametrów modelu za pomocą (w powyższym przykładzie 1/25), aby obliczyć macierz kowariancji dla parametrów modelu oszacowanych na pełnej próbce. $\frac{1}{\frac{N}{M}}$

Pożądane przedziały ufności można następnie aproksymować w oparciu o założenie normalności lub empiryczne dla mniejszej próbki skalowane przy użyciu podobnej procedury (np. Skalowane w dół o współczynnik . $\frac{1}{\sqrt{\frac{N}{M}}}$

Czy to obejście ma sens? Czy istnieją teoretyczne wyniki, które to uzasadniają? Jakieś alternatywy, aby poradzić sobie z tym wyzwaniem?

— Hazhir
źródło

4

To pytanie zostało zadane dawno temu, ale zamieszczam odpowiedź na wypadek, gdyby ktoś odkrył ją w przyszłości. Krótko mówiąc, odpowiedź brzmi tak: możesz to zrobić w wielu ustawieniach, a poprawność wielkości próby jest uzasadniona przez . Takie podejście jest zwykle nazywane boostraperem z i działa w większości ustawień, które wykonuje `` tradycyjny '' bootstrap, a także w niektórych ustawieniach, w których nie działa. $\sqrt{\frac{M}{N}}$ $M$ $N$

Powodem jest to, że wiele argumentów spójności ładowania początkowego używa estymatorów w postaci , gdzie są zmiennymi losowymi, a jest pewnym parametrem rozkład podstawowy. Na przykład dla średniej próbki i . $\frac{1}{\sqrt{N}} (T_N - \mu)$ $X_1, \ldots, X_N$ $\mu$ $T_N = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i$ $\mu = \mathbb{E}(X_1)$

Wiele dowodów zgodności bootstrap argumentuje, że jako , biorąc pod uwagę skończoną próbkę i powiązane oszacowanie punktu , gdzie są rysowane z prawdziwego rozkładu leżącego u podstaw, a są rysowane z zastąpieniem z . $N \to \infty$ $\{x_1, \ldots, x_N\}$ $\hat{\mu}_N = T_N(x_1, \ldots, x_N)$

\begin{matrix} (1) & \sqrt{N} (T_{N} (X_{1}^{*}, \dots, X_{N}^{*}) - {\hat{μ}}_{N}) \overset{D}{\to} \sqrt{N} (T_{N} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ) \end{matrix}

$\sqrt{N}(T_N(X_1^*, \ldots, X_N^*) - \hat{\mu}_N) \overset{D}{\to} \sqrt{N}(T_N(X_1, \ldots, X_N) - \mu) \tag{1} \label{convergence}$

X_{i}

$X_i$

X_{i}^{*}

$X_i^*$

{x_{1}, \dots, x_{N}}

$\{x_1, \ldots, x_N\}$

Moglibyśmy jednak również użyć krótszych próbek o długości i rozważyć estymator Okazuje się, że jako estymator ( ) ma taki sam rozkład ograniczenia jak powyżej w większości ustawień, w których ( ) trzyma i niektóre tam, gdzie nie. W tym przypadku ( ) i ( ) mają ten sam rozkład graniczny, motywując współczynnik korygujący np. W odchyleniu standardowym próbki. $M < N$

\begin{matrix} (2) & \sqrt{M} (T_{M} (X_{1}^{*}, \dots, X_{M}^{*}) - {\hat{μ}}_{N}) . \end{matrix}

$\sqrt{M}(T_M(X_1^*, \ldots, X_M^*) - \hat{\mu}_N). \tag{2} \label{m_out_of_n}$

M, N \to \infty

$M, N \to \infty$

2

$\ref{m_out_of_n}$

1

$\ref{convergence}$

1

$\ref{convergence}$

2

$\ref{m_out_of_n}$

\sqrt{\frac{M}{N}}

$\sqrt{\frac{M}{N}}$

Wszystkie te argumenty są asymptotyczne i trzymają się tylko granicy . Aby to zadziałało, ważne jest, aby nie wybierać za małego. Istnieje pewna teoria (np. Bickel i Sakov poniżej), jak wybrać optymalne jako funkcję aby uzyskać najlepsze wyniki teoretyczne, ale w twoim przypadku decydujące mogą być zasoby obliczeniowe. $M, N \to \infty$ $M$ $M$ $N$

Dla pewnej intuicji: w wielu przypadkach mamy jako , więc można traktować trochę jak poza bootstrap z i (używam małych liter, aby uniknąć pomyłki w notacji ). W ten sposób emulowanie rozkładu ( ) za pomocą z bootstrapu z jest bardziej `` właściwą '' rzeczą niż tradycyjne ( z $\hat{\mu}_N \overset{D}{\to} \mu$ $N \to \infty$

\begin{matrix} (3) & \sqrt{N} (T_{N} (X_{1}, \dots, X_{N}) - μ), \end{matrix}

$\sqrt{N}(T_N(X_1, \ldots, X_N) - \mu), \tag{3} \label{m_out_of_n_intuition}$

m

$m$

n

$n$

m = N

$m=N$

n = \infty

$n = \infty$

3

$\ref{m_out_of_n_intuition}$

M

$M$

N

$N$

M < N

$M < N$

N

$N$

N

$N$ ) uprzejmy. Dodatkowym bonusem w twoim przypadku jest to, że jego wycena jest tańsza pod względem obliczeniowym.

Jak wspomniałeś, głównym tematem są Politis i Romano. Bickel i wsp. (1997) znajduję również poniżej ładny przegląd z bootstrapu. $M$ $N$

Źródła :

PJ Bickel, F Goetze, WR van Zwet. 1997. Ponowne próbkowanie mniej niż obserwacji: zyski, straty i środki zaradcze na straty. Statistica Sinica. $n$

PJ Bickel, A Sakov. 2008. Z wyboru w ouf z bootstrap i granice ufności dla ekstremów. Statistica Sinica. $m$ $m$ $n$

— aph416
źródło

3

Po przeczytaniu więcej na ten temat wydaje się, że w ramach „podpróbkowania” istnieje ustalona teoria pozwalająca na wykonanie tego rodzaju oszacowania przedziału ufności. Kluczowym odniesieniem jest „Politis, DN; Romano, JP (1994). Regiony ufności dla dużej próby oparte na podpróbkach przy minimalnych założeniach. Annals of Statistics, 22, 2031-2050”.

Chodzi o to, aby narysować próbki o rozmiarze M <N, „bez zamiany” dla każdej próbki (ale z zastąpieniem różnych próbek o wielkości B), z N początkowych punktów danych (w moim przypadku serii) i oszacować przedział ufności parametr będący przedmiotem zainteresowania przy użyciu tych próbek i typowej metody ładowania początkowego. Następnie skaluj przedział ufności w oparciu o szybkość zmiany wariancji leżącego u podstaw rozkładu parametru ze zmianami w M. Ten wskaźnik wynosi 1 / M w wielu powszechnych ustawieniach, ale można go empirycznie oszacować, jeśli powtórzymy procedurę z kilkoma różnymi M wartości i spójrz na zmiany wielkości zakresów międzypentylowych.

— Hazhir
źródło