Oczekiwana wartość maksymalnego stosunku n iid zmiennych normalnych

Załóżmy, $X_1,...,X_n$ są IID z $N(\mu,\sigma^2)$ i niech $X_{(i)}$ oznaczają odpowiednio $i$ „th najmniejszy element z $X_1,...,X_n$ . Jak można przekroczyć górną granicę oczekiwanego maksimum stosunku między dwoma kolejnymi elementami w $X_{(i)}$ ? To znaczy, jak obliczyć górną granicę dla:

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

Literatura, którą udało mi się znaleźć, skupia się głównie na stosunku między dwiema zmiennymi losowymi, co daje rozkład współczynników, dla którego podano pdf dla dwóch nieskorelowanych rozkładów normalnych tutaj: https://en.wikipedia.org/wiki/ Ratio_distribution # Gaussian_ratio_distribution . Chociaż pozwoliłoby mi to przekroczyć oczekiwany średni stosunek $n$ zmiennych, nie widzę, jak uogólnić to pojęcie, aby znaleźć oczekiwany maksymalny stosunek $n$ zmiennych.

— Max
źródło

Jak zauważył poniżej Whuber, oczekiwanie na stosunek dwóch kolejnych statystyk rzędu nie jest zbieżne. Ale gdyby tak się stało, lub jeśli jesteś zainteresowany ich różnicy, powiedzmy

... problem powinien w rzeczywistości uprościć znalezienie stosunku (lub różnicy, zależnie od przypadku) dwóch statystyk NAJWIĘKSZYCH zamówień, tj.

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$

... właśnie z kształtu normalnych ogonów.

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$

— wilki

Oczekiwanie jest niezdefiniowane.

Niech być IID według dowolnego rozkładu z następujących własności: istnieje liczbę dodatnią i dodatni taki sposób, że $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

dla wszystkich . Ta właściwość jest prawdziwa dla każdego rozkładu ciągłego, takiego jak rozkład normalny, którego gęstość jest ciągła i niezerowa przy , dla tego czasu , co pozwala nam weź za dowolną stałą wartość między a . $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

Aby uprościć analizę, założę również i , z których oba są prawdziwe dla wszystkich rozkładów normalnych. (To ostatnie można zapewnić, jeśli to konieczne, przeskalowując Ten pierwszy służy jedynie do zwykłego niedoszacowania prawdopodobieństwa.) $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

Niech i przeceńmy funkcję przeżycia stosunku jako $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

Ten ostatni prawdopodobieństwo jest prawdopodobieństwo, że dokładnie z przekraczać , dokładnie jeden leży w przedziale , a pozostałe , (jeśli występuje) nonpositive chodzi o że szansę daje wielomianowe wyrażenie $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - ja, 1, ja - 1}) (1 - fa (1))^{n - ja} (fa (1 / t) - fa (0)) fa (0)^{ja - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

Gdy , nierówność zapewnia dolną granicę, która jest proporcjonalna do , pokazując, że $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

Funkcja przeżycia z , ma ogon zachowuje się asymptotycznie jako , to znaczy w dniach liczba dodatnia . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

Z definicji oczekiwanie dowolnej zmiennej losowej jest oczekiwaniem jej dodatniej części plus oczekiwanie jej ujemnej części . Ponieważ dodatnia część oczekiwania - jeśli istnieje - jest całką funkcji przeżycia (od do ) i $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

dodatnia część oczekiwania na rozbieżna. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

$-X_i$

— Whuber
źródło

n = 3

$n = 3$