Ograniczona funkcja generowania momentu

To pytanie wynika z zadanego tutaj pytania na temat funkcji generowania momentu związanego (MGF).

Załóżmy, że $X$ jest ograniczoną losową zmienną o zerowej średniej przyjmującą wartości w i niech będzie jej MGF. Z granicy użytej w dowodzie nierówności Hoeffdinga mamy gdzie prawa strona jest rozpoznawalna jako MGF zerowej średniej normalnej zmiennej losowej ze standardowym odchyleniem . Teraz odchylenie standardowe może być większe niż , przy czym maksymalna wartość występuje, gdy jest dyskretną zmienną losową taką, że $[-\sigma, \sigma]$ $G(t) = E[e^{tX}]$

G (t) = E [e^{t X}] \leq e^{σ^{2} t^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$

σ

$\sigma$

X

$X$

σ

$\sigma$

X

$X$

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ . Tak więc ograniczenie, o którym mowa, można uznać za powiedzenie, że MGF zmiennej losowej ograniczonej przez średnią zero jest ograniczony powyżej przez MGF średniej losowej zmiennej zerowej, której odchylenie standardowe jest równe maksymalnemu możliwemu odchyleniu standardowemu, które może mieć.

X

$X$

X

$X$

Moje pytanie brzmi: czy jest to dobrze znany wynik niezależnego zainteresowania, który jest wykorzystywany w miejscach innych niż jako dowód nierówności Hoeffdinga, a jeśli tak, to czy wiadomo, że rozciąga się on na zmienne losowe o niezerowych wartościach?

Wynik które pobudza kwestia ta umożliwia asymetryczny zakres o o lecz domagać . Granica to gdzie jest maksymalnym odchyleniem standardowym możliwym dla zmiennej losowej z wartościami ograniczonymi do , ale maksimum to nie jest osiągane przez zmienne losowe o średniej zerowej, chyba że . $[a,b]$ $X$ $a < 0 < b$ $E[X] = 0$

G (t) \leq e^{t^{2} (b - a)^{2} / 8} = e^{t^{2} σ_{m a x}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$

[a, b]

$[a,b]$

b = - a

$b = -a$

probability probability-inequalities mgf

— Dilip Sarwate
źródło

Zmienne losowe, które spełniają granice mgf, takie jak ten, który zacytowałeś, są nazywane subgaussowskimi zmiennymi losowymi. Odgrywają one centralną rolę, np. W nieasymptotycznej teorii losowej macierzy i niektórych powiązanych wynikach w detekcji kompresji. Zobacz np. Link w odpowiedzi tutaj . (To oczywiście nie odnosi się do twojego konkretnego pytania, ale ma on charakter pokrewny.)

— kardynał

Nie mogę odpowiedzieć na pierwszą część twojego pytania, ale jeśli chodzi o rozszerzenie jej na zmienne losowe z niezerowymi oznacza ...

Najpierw zauważ, że każdy rv o skończonym zasięgu $Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ i (koniecznie skończonym) środku może zostać przekształcony w rv który jest oczywiście zerową średnią o zakresie (spełniając w ten sposób warunki w opisie problemu). Przekształcony wariant ma mgf (według podstawowych właściwości mgf) Mnożąc obie strony przez i stosując nierówność daje: $\mu$ $X = Z-\mu$ $[a,b]$ $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ $\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

Nic dziwnego, że mgf normalnej zmiennej losowej o tej samej średniej i standardowym odchyleniu równym . $\sigma_\text{max}$

— łucznik
źródło