Czy istnieje rozkład w kształcie płaskowyżu?

30

Szukam rozkładu, w którym gęstość prawdopodobieństwa szybko maleje po pewnym punkcie oddalonym od średniej lub, moim zdaniem, „rozkładem w kształcie płaskowyżu”.

Coś pomiędzy gaussowskim a mundurem.

distributions normal-distribution uniform

— dontloo
źródło

8

Można zsumować RV gaussowską i RV jednolitą.

— StrongBad,

3

Czasami słyszy się o tak zwanych rozkładach platykurtycznych .

— JM nie jest statystykiem

53

Być może szukasz dystrybucji znanej pod nazwą uogólniona normalna (wersja 1) , dystrybucja subbotynowa lub wykładnicza dystrybucja mocy. Jest on parametryzowany przez położenie , skalę i kształt pomocą pdf $\mu$ $\sigma$ $\beta$

\frac{β}{2 σ Γ (1 / β)} \exp [- {(\frac{| x - μ |}{σ})}^{β}]

$\frac{\beta}{2\sigma\Gamma(1/\beta)} \exp\left[-\left(\frac{|x-\mu|}{\sigma}\right)^{\beta}\right]$

jak widać, dla przypomina i zbiega się do rozkładu Laplace'a, przy zbiega się do normalnego, a gdy do równomiernego rozkładu. $\beta=1$ $\beta=2$ $\beta = \infty$

Jeśli szukasz oprogramowania, które ma to zaimplementowane, możesz sprawdzić normalpbibliotekę dla R (Mineo i Ruggieri, 2005). Co jest ładne na temat tego pakietu jest to, że między innymi realizuje regresji z błędami o rozkładzie normalnym uogólnionych, czyli minimalizowanie normę. $L_p$

Mineo, AM, i Ruggieri, M. (2005). Oprogramowanie do wykładniczej dystrybucji mocy: Pakiet normalp. Journal of Statistics Software, 12 (4), 1-24.

— Tim
źródło

20

Komentarz StrongBada @ jest naprawdę dobrą sugestią. Suma jednolitego RV i gaussowskiego RV może dać ci dokładnie to, czego szukasz, jeśli odpowiednio wybierzesz parametry. I faktycznie ma całkiem dobre rozwiązanie w formie zamkniętej.

Plik PDF tej zmiennej jest podany w wyrażeniu:

\frac{1}{4 a} [e r f (\frac{x + a}{σ \sqrt{2}}) - e r f (\frac{x - a}{σ \sqrt{2}})]

$\dfrac{1}{4a}\left[\mathrm{erf}\left(\dfrac{x+a}{\sigma\sqrt{2}}\right)-\mathrm{erf}\left(\dfrac{x-a}{\sigma\sqrt{2}}\right) \right]$

jest „promieniem” równomiernego RV równego zeru. to odchylenie standardowe zerowej średniej RV gaussa. $a$ $\sigma$

— Steve Cox
źródło

3

Odnośnik: Bhattacharjee, GP, Pandit, SNN i Mohan, R. 1963. Łańcuchy wymiarowe obejmujące rozkład prostokątny i normalny. Technometrics, 5, 404–406.

— Tim

15

Istnieje nieskończona liczba rozkładów w kształcie płaskowyżu.

Czy szukałeś czegoś bardziej konkretnego niż „pomiędzy gaussowskim a mundurem”? To trochę niejasne.

Oto jedna prosta: zawsze możesz przykleić pół normalną na każdym końcu munduru:

Możesz kontrolować „szerokość” munduru w stosunku do skali normalnej, dzięki czemu możesz mieć szersze lub węższe płaskowyże, co daje całą klasę rozkładów, w tym przypadki Gaussa i mundur jako przypadki ograniczające.

Gęstość wynosi:

$\frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu+w/2)^2} \mathbb{I}_{x\leq \mu-w/2} \\ + \:\frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma}\quad\mathbb{I}_{\mu-w/2< x\leq \mu+w/2} \\ + \frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu-w/2)^2} \mathbb{I}_{x > \mu+w/2}$

gdzie $h = \frac{1}{1 + w/(\sqrt{2\pi}\sigma)}$

Gdy dla stałej , zbliżamy się do munduru na a jako dla stałej zbliżamy się do . $\sigma \to 0$ $w$ $(\mu-w/2,\mu+w/2)$ $w \to 0$ $\sigma$ $N(\mu,\sigma^2)$

Oto kilka przykładów (z w każdym przypadku): $\mu=0$

Być może moglibyśmy nazwać tę gęstość „mundurem gaussowskim”.

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

1

Ach! Ja uwielbiam uczestniczy kulki formalnych noszenie Gausian-tailed mundur! ;)

— Alexis

7

Zobacz moją dystrybucję „Diabelskiej wieży” tutaj [1]:

, dla ; , dla ; i , dla. $f(x) = 0.3334$ $|x| < 0.9399$
$f(x) = 0.2945/x^2$ $0.9399 \leq |x| < 2.3242$
$f(x) = 0$ $2.3242 \leq |x|$

Dystrybucja „slip-dress” jest jeszcze bardziej interesująca.

Łatwo jest budować rozkłady o dowolnym kształcie.

[1]: Westfall, PH (2014)
„Kurtosis as Peakedness, 1905 - 2014. RIP”
Popr. Stat. 68 (3): 191–195. doi: 10.1080 / 00031305.2014.917055
publiczny dostęp pdf: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753/pdf/nihms-599845.pdf

— Peter Westfall
źródło

Cześć Peter - Pozwoliłem sobie nadać funkcję i wstawić obraz, a także podać pełne odniesienie. (Jeśli pamięć służy, myślę, że Kendall i Stuart podają szczegóły podobnego debunkowania w swoim klasycznym tekście. Jeśli dobrze pamiętam

— minęło sporo

Dzięki, Glen_b. Nigdy nie mówiłem, że kurtoza mierzy to, co mierzą liczby indeksu ogona. Raczej mój artykuł dowodzi, że kurtoza jest, dla bardzo szerokiej klasy rozkładów, prawie równa E (Z ^ 4 * I (| Z |> 1)). Zatem kurtoza wyraźnie nie mówi nic o „szczycie”, który zwykle znajduje się w zakresie {Z: | Z | <1}. Raczej zależy to głównie od ogonów. Nazwij to E (Z ^ 4 * I (| Z |> 1)), jeśli termin „ciężki ogoniasty” ma inne znaczenie.

— Peter Westfall

Ponadto, @Glen_b, do którego indeksu ogonowego się odnosisz? Jest nieskończenie wiele. Skrzyżowanie ogonów nie definiuje właściwie „ogona”. Zgodnie z niektórymi definicjami ciężkości ogona, przecięcie N (0,1) jest bardziej „ciężkie” niż 0,9999 * U (-1,1) + .0001 * U (-1000,1000), chociaż ta ostatnia jest oczywiście cięższy ogon, mimo że ma skończone ogony. I BTW, ta ostatnia ma wyjątkowo wysoką kurtozę, w przeciwieństwie do N (0,1).

— Peter Westfall,

Nigdzie w moim komentarzu nie mogę znaleźć słowa „indeks ogona”; Nie jestem do końca pewien, o czym tu mówisz, kiedy mówisz „do którego indeksu ogona masz na myśli”. Jeśli masz na myśli troskę o grubych ogonach, najlepiej jest sprawdzić, co naprawdę mówią Kendall i Stuart; Sądzę, że tam faktycznie porównują asymptotyczny stosunek gęstości dla symetrycznych znormalizowanych zmiennych, ale być może mogły to być funkcje ocalałych; chodziło o ich, nie o moje

— Glen_b

Dziwne. W każdym razie Kendall i Stuart się mylili. Jak dowodzą moje twierdzenia, Kurtosis jest oczywiście miarą wagi ogona.

— Peter Westfall,

5

$f(x)$

f (x) = k \frac{1}{1 + x^{2 a}} for x \in R

$f(x) = k \frac{1}{1 + x^{2 a}} \quad \quad \text{for } x \in \mathbb{R}$

gdzie:

$a$
$k$ $k = \frac{a}{\pi} \sin \left(\frac{\pi}{2 a}\right)$

$a$

.

$a$

— wilki
źródło

3

Kolejny ( EDYCJA : uprościłem go teraz. EDIT2 : uprościłem go jeszcze bardziej, chociaż teraz obraz tak naprawdę nie odzwierciedla tego dokładnego równania):

f (x) = \frac{1}{3 \cdot α} \cdot \log (\frac{\cosh (α \cdot a) + \cosh (α \cdot x)}{\cosh (α \cdot b) + \cosh (α \cdot x)})

$f(x) = \frac{1}{3 \cdot \alpha} \cdot \log{\left( \frac{\cosh{\left(\alpha \cdot a\right)}+ \cosh{\left(\alpha \cdot x\right)}} {\cosh{\left(\alpha \cdot b\right)}+ \cosh{\left(\alpha \cdot x\right)}} \right)}$

$\log(\cosh(x))$ $x$

$alpha$ $a = 2$ $b = 1$

Oto przykładowy kod w R:

f = function(x, a, b, alpha){
  y = log((cosh(2*alpha*pi*a)+cosh(2*alpha*pi*x))/(cosh(2*alpha*pi*b)+cosh(2*alpha*pi*x)))
  y = y/pi/alpha/6
  return(y)
}

fto nasza dystrybucja. Wykreślmy to dla sekwencjix

plot(0, type = "n", xlim = c(-5,5), ylim = c(0,0.4))
x = seq(-100,100,length.out = 10001L)

for(i in 1:10){
  y = f(x = x, a = 2, b = 1, alpha = seq(0.1,2, length.out = 10L)[i]); print(paste("integral =", round(sum(0.02*y), 3L)))
  lines(x, y, type = "l", col = rainbow(10, alpha = 0.5)[i], lwd = 4)
}
legend("topright", paste("alpha =", round(seq(0.1,2, length.out = 10L), 3L)), col = rainbow(10), lwd = 4)

Dane wyjściowe konsoli:

#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = NaN" #I suspect underflow, inspecting the plots don't show divergence at all
#[1] "integral = NaN"
#[1] "integral = NaN"

I fabuła:

Można zmienić ai bokoło początek i koniec stoku odpowiednio, ale potem dalej normalizacja byłaby potrzebna, a nie obliczać go (dlatego używam a = 2i b = 1na wykresie).

— Firebug
źródło

2

Jeśli szukasz czegoś bardzo prostego, z centralnym płaskowyżem i bokami rozkładu trójkątów, możesz na przykład połączyć N rozkładów trójkątów, N w zależności od pożądanego stosunku między płaskowyżem a zejściem. Po co trójkąty, ponieważ ich funkcje próbkowania istnieją już w większości języków. Losowo sortujesz według jednego z nich.

W R dałoby to:

library(triangle)
rplateau = function(n=1){
  replicate(n, switch(sample(1:3, 1), rtriangle(1, 0, 2), rtriangle(1, 1, 3), rtriangle(1, 2, 4)))
}
hist(rplateau(1E5), breaks=200)

— agenis
źródło

2

Oto ładna: produkt dwóch funkcji logistycznych.

(1/B) * 1/(1+exp(A*(x-B))) * 1/(1+exp(-A*(x+B)))

Ma to tę zaletę, że nie jest częściowe.

B dostosowuje szerokość, a A dostosowuje stromość opadania. Poniżej pokazano B = 1: 6 z A = 2. Uwaga: Nie zastanawiałem się, jak właściwie to znormalizować.

— Adjwilley
źródło