Czy ta dystrybucja ma nazwę?

23

Przyszło mi dziś do głowy, że rozkład może być postrzegany jako kompromis między gaussowskim a Laplace'em dystrybucje, dla iCzy taka dystrybucja ma nazwę? I czy ma ona wyraz swojej stałej normalizacji? Rachunek mnie zaskakuje, ponieważ nie wiem, jak nawet rozpocząć rozwiązywanie dla w całce

f (x) \propto \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β})

$f(x)\propto\exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right)$

x \in R, p \in [1, 2]

$x\in\mathbb{R}, p\in[1,2]$

β > 0.

$\beta>0.$

C

$C$

1 = C \cdot \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- \frac{| x - μ |^{p}}{β}) d x

$1=C\cdot \int_{-\infty}^\infty \exp\left(-\frac{|x-\mu|^p}{\beta}\right) dx$

— Sycorax mówi Przywróć Monikę
źródło

34

Krótka odpowiedź

Opisany plik pdf jest najlepiej znany jako rozkład Subbotin ... patrz artykuł Subbotin z 1923 r., Który ma dokładnie taką samą formę funkcjonalną, np. . $Y = X-\mu$

Subbotin, MT (1923), O prawie częstotliwości błędów, Matematicheskii Sbornik, 31, 296-301.

który wprowadza pdf w swoim równaniu 5, w formie:

f (y) = K \exp [- {(\frac{| y |}{σ})}^{p}]

$f(y) = K \exp\left[-\left(\frac{|y|}{\sigma}\right)^p\right]$

ze stałą integracji: , zgodnie z pochodną Xiana, gdzie $K = \large\frac{p}{2 \sigma \Gamma \left(\frac{1}{p}\right)}$ $\beta = \sigma^p$

Dłuższa odpowiedź

Wikipedia niestety nie zawsze jest „aktualna”, dokładna, a czasem zaledwie 80 lat wstecz. Po Subbotin (1923) dystrybucja jest szeroko stosowana w literaturze, w tym:

Diananda, PH (1949), Uwaga na temat niektórych właściwości oszacowań maksymalnego prawdopodobieństwa, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 45, 536-544.
Turner, ME (1960), O metodach oceny heurystycznej, Biometrics, 16 (2), 299-301.
Zeckhauser, R. i Thompson, M. (1970), Regresja liniowa z nienormalnymi terminami błędów, The Review of Economics and Statistics, 52, 280-286.
McDonald, JB i Newey, WK (1988), Częściowo adaptacyjne oszacowanie modeli regresji poprzez uogólniony rozkład t, Ekonometryczna teoria, 4, 428-457.
Johnson, NL, Kotz, S. i Balakrishnan, N. (1995), Continuous Univariate Distribution, tom 2, wydanie drugie, Wiley: New York (1995, str. 422)
Mineo, AM i Ruggieri, M. (2005), Oprogramowanie do dystrybucji mocy wykładniczej: pakiet normalp, Journal of Statistics Software, 12 (4), 1-21.

... wszystko przed artykułem wymienionym na Wiki. Poza tym, że jest 80 lat nieaktualny, nazwa używana na Wiki „a Generalized Normal” również wydaje się nieodpowiednia, ponieważ istnieje nieskończona liczba dystrybucji, które są uogólnieniami Normalnego, a nazwa jest w każdym razie niejednoznaczna z literaturą. Nie uznaje też oryginalnego autora.

— wilki
źródło

17

Z oczywistych względów możesz pozbyć się μ i β, więc pozostaje tylko Stąd

\int_{0}^{\infty} \exp {- x^{p}} d x \overset{y = x^{p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} | \frac{d x}{d y} | d y \overset{x = y^{1 / p}}{=} \int_{0}^{\infty} \exp {- y} \frac{1}{p} y^{\frac{1}{p} - 1} d y = Γ (1 / p) \frac{1}{p}

$\int_0^\infty \exp\{−x^p\}\text{d}x\stackrel{y=x^p}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\left|\dfrac{\text{d}x}{\text{d}y}\right|\text{d}y\stackrel{x=y^{1/p}}{=}\int_0^\infty \exp\{−y\}\frac{1}{p}y^{\frac{1}{p}-1}\text{d}y=\Gamma(1/p)\frac{1}{p}$

\int_{- \infty}^{\infty} \exp {- β^{- 1} | x - μ |^{p}} d x = \frac{2 Γ (1 / p)}{p} β^{1 / p}

$\int_{-\infty}^\infty \exp\{−\beta^{-1}|x-\mu|^p\}\text{d}x=\dfrac{2\Gamma(1/p)}{p}\beta^{1/p}$

— Xi'an
źródło

2

Nie. Oczywiście. A może zdarzyło Ci się wiedzieć, czy ma ona nazwę?

— Sycorax mówi Przywróć Monikę

1

Jest to nieco związane z [rozkładami Weibulla i Frécheta] ( en.wikipedia.org/wiki/… ), jednak mają one potęgę przed wykładniczą. Jest to zatem bardziej rozkład Gaussa dla innej metryki niż odległość kwadratowa.

— Xi'an,

1

+1 Nie byłoby źle nazywać to rozkładem „mocy gamma”.

— whuber

13

Według Wikipedii jest to znane jako Uogólniona dystrybucja normalna (wersja 1 w artykule), a ograniczenie nie jest wymagane, ale jakakolwiek dodatnia wartość jest w porządku. $p\in [1,2]$

Źródło podane w Wikipedii to Saralees Nadarajah (2005) Uogólniony rozkład normalny , Journal of Applied Statistics, 32: 7, 685-694, DOI: 10.1080 / 02664760500079464. W tym artykule wspomniano, że stałą normalizacji można znaleźć w „prostej integracji” - zakładam, że podążam za odpowiedzią Xi'ana.

— Juho Kokkala
źródło