Jednostronna nierówność Czebyszewa na wyższy moment

Czy istnieje analogia do wyższego momentu nierówności Czebyszewa w jednostronnym przypadku?

Wydaje się, że nierówność Czebyszewa-Cantellego działa tylko na wariancję, podczas gdy nierówność Czebyszewa można łatwo uzyskać dla wszystkich wykładników.

Czy ktoś wie o jednostronnej nierówności przy użyciu wyższych momentów?

Dla wygody niech oznacza ciągłą zmienną losową o zerowej średniej z funkcją gęstości i rozważmy gdzie . Mamy gdzie . Jeśli jest parzystą liczbą całkowitą, a dowolną dodatnią liczbą rzeczywistą, to a więc $X$$f(x)$$P\{X \geq a\}$$a > 0$

$$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$$ $g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$$n$$b$ $$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$$ $$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$$ Mamy więc, że dla dodatnich liczb rzeczywistych i , gdzie oczekiwanie na prawo w jest momentem ( parzystym) z około . Gdy , najmniejszą górną granicę na uzyskuje się, gdy daje jednostronną nierówność Czebyszewa (lub nierówność Czebyszewa-Cantellego): Dla większych wartości , minimalizacja względem$a$$b$(1)nnX-bn=2P{X≥a}b=σ2/aP{X≥a}≤σ $$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$$ $(1)$$n$$n$$X$$-b$$n = 2$$P\{X \geq a\}$$b = \sigma^2/a$n $$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$$ $n$$b$ jest bardziej chaotyczny.