Czy wspólna normalność jest niezbędnym warunkiem, aby suma normalnych zmiennych losowych była normalna?

13

W komentarzach po tej mojej odpowiedzi na powiązane pytanie Użytkownicy ssdecontrol i Glen_b zapytali, czy wspólna normalność i jest konieczna do zapewnienia normalności sumy ? Ta wspólna normalność jest wystarczająca, jest oczywiście dobrze znana. To dodatkowe pytanie nie zostało tam poruszone i być może jest warte rozważenia samo w sobie. $X$ $Y$ $X+Y$

Ponieważ wspólna normalność oznacza normalność marginalną, pytam

Czy istnieją normalne losowe zmienne $X$ i $Y$ takie, że $X+Y$ jest normalną zmienną losową, ale $X$ i nie $Y$ są wspólnie normalnymi zmiennymi losowymi?

Jeśli $X$ i $Y$ nie muszą mieć rozkładów normalnych, łatwo jest znaleźć takie normalne zmienne losowe. Jeden przykład można znaleźć w mojej poprzedniej odpowiedzi (link podano powyżej). Uważam, że odpowiedź na wyżej zaznaczone pytanie brzmi „Tak” i podam (jak sądzę) przykład jako odpowiedź na to pytanie.

— Dilip Sarwate
źródło

2

Jak chcesz radzić sobie ze zdegenerowanymi dystrybucjami? Na przykład, jeśli jest standardową normą, a , to łączny rozkład i jest zdegenerowanym rozkładem normalnym, a jest standardową normą.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

— Brian Borchers,

@BrianBorchers i są wspólnie normalnymi zmiennymi losowymi, nawet jeśli rozkład jest zdegenerowany, jak mówisz. Standardowa definicja wspólnej normalności jest taka, że i są wspólnie normalne, jeśli jest normalne dla wszystkich wyborów . W tym przypadku jest przypadkiem zdegenerowanym, który mimo to jest nazywany zwykłą zmienną losową jako uprzejmość.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$

— Dilip Sarwate

11

Niech będzie równe . $U,V$ $N(0,1)$

Teraz przekształcamy w następujący sposób: $(U,V) \to (X,Y)$

W pierwszym kwadrancie (tj. ) niech i . $U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

W przypadku innych ćwiartek obróć to odwzorowanie na temat początku.

Wynikowy rozkład dwuwymiarowy wygląda (patrząc z góry):

$\hspace{1.5 cm}$

- kolor fioletowy reprezentuje regiony z podwójnym prawdopodobieństwem, a regiony białe to regiony bez prawdopodobieństwa. Czarne kółka są konturami o stałej gęstości (wszędzie na kole dla , ale w obrębie każdego kolorowego obszaru dla ). $(U,V)$ $(X,Y)$

Dzięki symetrii zarówno jak i są normalnie normalne (patrząc w dół na linię pionową lub wzdłuż linii poziomej jest fioletowy punkt dla każdego białego, który możemy uznać za odwrócony w poprzek osi, w której linia pozioma lub pionowa przecina się) $X$ $Y$
ale wyraźnie nie są dwuwymiarowe normalne, i $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ czyli (równoważnie, spójrz wzdłuż linii stałej i zobacz, że mamy symetrię podobną do omawianej w 1., ale tym razem o Linia ) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

1

+1 i zaakceptować; ta konstrukcja jest o wiele ładniejsza niż ta z mojej własnej odpowiedzi!

— Dilip Sarwate,

5

Rozważ wspólnie ciągłe zmienne losowe z funkcją gęstości stawu gdzie oznacza standardową funkcję normalnej gęstości. $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

Oczywiste jest, że i są zależnymi zmiennymi losowymi. Oczywiste jest również, że nie są to wspólnie normalne zmienne losowe. Jednak wszystkie trzy pary są parami niezależnymi zmiennymi losowymi: w rzeczywistości niezależnymi standardowymi zmiennymi losowymi (a zatem parami normalnie zmiennych losowych). Krótko mówiąc, są przykładem niezależnych parami, ale nie niezależnych od siebie normalnych zmiennych losowych. Zobacz moją odpowiedź, aby uzyskać więcej informacji. $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

Zauważ, że niezależność parami daje nam, że i są zerowymi średnimi normalnymi zmiennymi losowymi z wariancją . Teraz zdefiniujmy i zauważmy, że jest również zerową średnią normalną zmienną losową o wariancji . Ponadto , więc i są zależnymi i skorelowanymi zmiennymi losowymi. $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ i są (skorelowanymi) normalnymi zmiennymi losowymi, które nie są wspólnie normalne, ale mają tę właściwość, że ich suma jest normalną zmienną losową. $Y$ $X+Y$

Innymi słowy, wspólny normalność jest wystarczającym warunkiem dochodzenia do normalności suma normalnych zmiennych losowych, ale to nie warunek konieczny.

Dowód, że i nie są wspólnie normalne $X$ $Y$
Ponieważ transformacja jest liniowa, łatwo jest uzyskać . Dlatego mamy Ale ma właściwość polegającą na tym, że jego wartość jest różna od zera tylko wtedy, gdy dokładnie jeden lub wszystkie trzy jego argumenty są nieujemne. Załóżmy teraz, że . Następnie ma wartość dla $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ i w przeciwnym razie wynosi . Zatem dla , Teraz a więc rozszerzając i dokonując pewnych zmian aranżacji całek w , możemy napisać gdzie jest normalnym losowym zmienna ze średnią

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ i wariancja . Oba terminy w nawiasach kwadratowych dotyczą standardowego normalnego CDF z argumentami, które są (różnymi) funkcjami zarówno jak i . Tak więc, jest nie dwuwymiarowym normalnej gęstości chociaż oba i są normalnymi zmiennymi losowymi, a ich suma jest normalnej zmiennej losowej.

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

Komentarz: Łączna normalność i wystarcza do normalności ale oznacza również znacznie więcej: jest normalne dla wszystkich wyborów . Tutaj potrzebujemy aby było normalne tylko dla trzech wyborów , mianowicie, gdzie pierwsze dwa wymuszają często ignorowane warunek (patrz np. odpowiedź ), że (marginalne) gęstości i muszą być normalnymi gęstościami, a trzeci mówi, że suma musi mieć również normalną gęstość. Tak więc, można $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ mają normalne zmienne losowe, które nie są wspólnie normalne, ale których suma jest normalna, ponieważ nie obchodzi nas, co stanie się z innymi wyborami . $(a,b)$

— Dilip Sarwate
źródło