Dla intuicji, jakie są przykłady rzeczywistych nieskorelowanych, ale zależnych zmiennych losowych?

Wyjaśniając, dlaczego nieskorelowane nie oznacza niezależności, istnieje kilka przykładów, które dotyczą szeregu zmiennych losowych, ale wszystkie wydają się tak abstrakcyjne: 1 2 3 4 .

Ta odpowiedź wydaje się mieć sens. Moja interpretacja: Zmienna losowa i jej kwadrat mogą być nieskorelowane (ponieważ pozornie brak korelacji jest czymś w rodzaju niezależności liniowej), ale są one wyraźnie zależne.

Myślę, że przykładem może być (znormalizowana?) Wysokość i wysokość $^2$ mogą być nieskorelowane, ale zależne, ale nie rozumiem, dlaczego ktoś chciałby porównywać wysokość i wysokość . $^2$

Jakie są przykłady rzeczywistych nieskorelowanych, ale zależnych zmiennych losowych w celu zapewnienia intuicji początkującemu w elementarnej teorii prawdopodobieństwa lub podobnych celach?

— BCLC
źródło

To nie odpowiada na twoje pytanie, ale wydaje się istotne: czasami rv i jego kwadrat są skorelowane, a czasem nieskorelowane. Na przykład, jeśli X jest jednolity na [0,1], to X i X ^ 2 są nieskorelowane. Ale jeśli X jest jednolity na [-1, 1], to X i X ^ 2 są nieskorelowane. (Narysuj obrazek, aby to zobaczyć.) Jednak w obu przypadkach X i X ^ 2 są zależne.

— Martha

@Martha w Twoim komentarzu jest literówka. Myślę, że to pierwszy „nieskorelowany”, który powinien być „skorelowany”. ;)

— Stary człowiek na morzu.

@Anoldmaninthesea skorelowane, a czasem skorelowane?

— BCLC,

@BCLC „jeśli X jest jednolity dla [0,1], to X i X ^ 2 są nieskorelowane.” Powinno być „jeśli X jest jednolity na [0,1], to X i X ^ 2 są skorelowane.”, Tak myślę.

— Stary człowiek na morzu.

@Anoldmaninthesea Masz rację: Skorelowany z [0,1], ale nieskorelowany z [-1,1]. Dzięki za wskazanie literówki.

— Martha

Odpowiedzi:

W finansach szeroko cytowane są tutaj efekty GARCH (uogólniona autoregresyjna warunkowa heteroskedastyczność) : zwroty akcji , przy czym cena w czasie , same nie są skorelowane z własnej przeszłości , gdy rynki akcji są skuteczne (inny, można łatwo i efektywnie przewidzieć, gdzie ceny rosną), ale ich kwadraty oraz $r_t:=(P_t-P_{t-1})/P_{t-1}$ $P_t$ $t$ $r_{t-1}$ $r_t^2$ nie są: w wariancjach występuje zależność czasowa, które skupiają się w czasie, z okresami dużej zmienności w czasach niestabilności. $r_{t-1}^2$

Oto sztuczny przykład (po raz kolejny wiem, ale „prawdziwa” seria zwrotów akcji może wyglądać podobnie):

Widzisz klaster wysokiej zmienności wokół, w szczególności $t\approx400$ .

Wygenerowano za pomocą

library(TSA)
garch01.sim <- garch.sim(alpha=c(.01,.55),beta=0.4,n=500)
plot(garch01.sim, type='l', ylab=expression(r[t]),xlab='t')

— Christoph Hanck
źródło

Dzięki dzielnemu, gryzącemu królowi reniferów Hanck. Proszę trochę rygoru? ^ - ^ Przez zwroty towaru masz na myśli Rt = (St + 1-St) / St? Kwadraty St, kwadraty czy Rt?

— BCLC,

Dodałem trochę wyjaśnienia

— Christoph Hanck

Czy to R?

$\$

— BCLC

Jest R. Wymaga pakietu TSA .

— toliveira

Prostym przykładem jest dwuwymiarowy rozkład, który jest jednolity na obszarze w kształcie pączka. Zmienne są nieskorelowane, ale wyraźnie zależne - na przykład, jeśli wiesz, że jedna zmienna jest zbliżona do swojej średniej, druga musi być oddalona od swojej średniej.

— Russ Lenth
źródło

Jakie dokładnie są dwie zmienne?

— BCLC,

X

$X$

Y

$Y$

f (x, y) = 1 / 3 π

$f(x,y) = 1 / 3\pi$

1 < x^{2} + y^{2} < 2

$1 < x^2+y^2 < 2$

0

$0$

Myślę, że przykłady fizyki to prawdziwe życie. Dzięki rvl. Dlaczego twój przykład jest prawdziwy?

— BCLC,

Narysuj wykres regionu, w którym gęstość jest różna od zera, i zastanów się nad tym.

— Russ Lenth

Odkryłem, że poniższy rysunek z wiki jest bardzo przydatny dla intuicji. W szczególności dolny rząd pokazuje przykłady nieskorelowanych, ale zależnych rozkładów.

Podpis powyższej fabuły w wiki: Kilka zestawów punktów (x, y), ze współczynnikiem korelacji Pearsona xiy dla każdego zestawu. Zauważ, że korelacja odzwierciedla hałaśliwość i kierunek relacji liniowej (górny rząd), ale nie nachylenie tej relacji (środek), ani wiele aspektów relacji nieliniowych (dół). Uwaga: liczba w środku ma nachylenie 0, ale w tym przypadku współczynnik korelacji jest niezdefiniowany, ponieważ wariancja Y wynosi zero.

— yuqian
źródło