Czy twierdzenie Słuckiego jest nadal aktualne, gdy obie sekwencje zbiegają się w nie-zdegenerowanej zmiennej losowej?

12

Jestem zdezorientowany niektórymi szczegółami na temat twierdzenia Słuckiego :

Niech , będą dwiema sekwencjami losowych elementów skalarnych / wektorowych / macierzowych. $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$

Jeśli zbiega się w rozkładzie do losowego elementu a zbiega się w prawdopodobieństwie do stałej , to pod warunkiem, że jest odwracalne, gdzie oznacza zbieżność w dystrybucji. $X_n$ $X$ $Y_n$ $c$
$\begin{aligned} X_{n} + Y_{n} & \overset{re}{\to} X + do \\ X_{n} Y_{n} & \overset{re}{\to} do X \\ X_{n} / Y_{n} & \overset{re}{\to} X / do, \end{aligned}$ $\eqalign{ X_{n}+Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X+c\\ X_{n}Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ cX\\ X_{n}/Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X/c, }$ $c$ ${\xrightarrow {d}}$

Jeśli obie sekwencje w twierdzeniu Słuckiego oba zbiegną się w nie-zdegenerowaną zmienną losową, to czy twierdzenie to jest nadal aktualne, a jeśli nie (czy ktoś mógłby podać przykład?), Jakie są dodatkowe warunki, aby uczynić je prawidłowym?

— Nicolas H.
źródło

15

Twierdzenie Słuckiego nie obejmuje dwóch sekwencji zbieżnych w rozkładach do zmiennej losowej. Jeżeli zbiega się w dystrybucji na , może również nie zbiegać lub mogą zbiegać się na coś innego niż . $Y_n$ $Y$ $X_n+Y_n$ $X+Y$

Na przykład, jeśli dla „s nie zbiegają się różnicę dwóch dzieci jest z tego samego rozkładu jak . $Y_n=-X_n$ $n$ $X_n+Y_n$ $X$

Innym kontrprzykładem jest to, że gdy sekwencje i są niezależne i oba są zbieżne w rozkładzie do normalnej zmiennej , jeśli definiuje się i , a następnie $\{X_n\}$ $\{Y_n\}$ $\text{N}(0,1)$ $X_1\sim\text{N}(0,1)$ $X_2=-X_1$ Zobaczodpowiedź Davide,aby uzyskać więcej informacji na temat tego przykładu.

\begin{aligned} X_{n} & \overset{re}{\to} X_{1} \\ Y_{n} & \overset{re}{\to} X_{2)} \\ X_{n} + Y_{n} & ⧸ \overset{re}{\to} X_{1} + X_{2)} = 0 \end{aligned}

$\eqalign{X_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_1\\Y_{n}\ &{\xrightarrow {d}}\ X_2\\X_{n}+Y_{n}\ &\not{{\xrightarrow {d}}}\ X_1+X_2=0}$

— Xi'an
źródło

2

Aby się rozszerzyć, potrzebujesz czegoś więcej, na przykład niezależności.

— kjetil b halvorsen

Czy mam rację, myśląc, że jeśli zamiast tego obie sekwencje zbiegną się w stałą, Slutsky TAK nadal ma zastosowanie, ponieważ stała jest szczególnym (zdegenerowanym) przypadkiem RV?

— półfinał

1

@ Half-pass: jest to poprawne.

— Xi'an

4

$(X_0,Y_0)$ $\pmatrix{1&\rho\\ \rho&1}$ $|\rho|\leqslant 1$ $X_n:=X_0$ $Y_n:=Y_0$ $n\geqslant 1$ $X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X$ $Y$ $X_n+Y_n$ $2+2\rho$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

$X_n\to X$ $Y_n\to Y$ $X+Y$ $X_n+Y_n\to X+Y$

$(X_n,Y_n)\to (X,Y)$ $X_n$ $Y_n$ $X$ $Y$ $(X_n+Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\varepsilon$ $R$ $\sup_n\mathbb P\{|X_n+Y_n|\gt R\}\lt \varepsilon$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $Z$

$(X_n)_{n\geqslant 1}$ $(Y_n)_{n\geqslant 1}$ $\sigma\in [0,2]$ $(n_k)_{k\geqslant 1}$ $(X_{n_k}+Y_{n_k})_{k\geqslant 1}$ $N(0,\sigma^2)$

$(r_j)$ $[-1,1]$ $\tau\colon \mathbb N\to \mathbb N^2$ $n\in \tau^{-1}(\{j\})\times\mathbb N$ $(X_n,Y_n)$ $\pmatrix{1&r_j\\ r_j&1}$ $\sigma$

— Davide Giraudo
źródło