Metoda drugiej chwili, ruch Browna?

Niech $B_t$ być standardowy ruch Browna. Niech oznacza zdarzenie i niech gdzie oznacza funkcję wskaźnika. Czy istnieje takie, że dla dla wszystkich ? Podejrzewam, że odpowiedź brzmi tak; Próbowałem zadzierać z metodą drugiej chwili, ale bezskutecznie. Czy można to pokazać za pomocą metody drugiego momentu? A może powinienem spróbować czegoś innego? $E_{j, n}$

{B_{t} = 0 for some \frac{j - 1}{2^{n}} \leq t \leq \frac{j}{2^{n}}},

$\left\{B_t = 0 \text{ for some }{{j-1}\over{2^n}} \le t \le {j\over{2^n}}\right\},$

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{2 n}} 1_{E_{j, n}},

$K_n = \sum_{j = 2^n + 1}^{2^{2n}} 1_{E_{j,n}},$

1

$1$

ρ > 0

$\rho > 0$

P {K_{n} \geq ρ 2^{n}} \geq ρ

$\mathbb{P}\{K_n \ge \rho2^{n}\} \ge \rho$

n

$n$

— Student
źródło

Po pierwsze, czy twoja suma nie będzie:

ponieważ twoje wydarzenie wskazuje, że tempo wzrostu

wynosi

więc można oczekiwać, że twoja suma będzie miała

warunki nie

{K.}_{n} = \sum_{jot = {2)}^{n} + 1}^{{2)}^{n + 1}}

$K_n = \sum_{j=2^n+1}^{2^{n+1}}$

K_{n}

$K_n$

2^{n}

$2^n$

2^{n + 1}

$2^{n+1}$

— Grant Izmirlian

Nie odpowiedź, ale być może przydatne przeformułowanie

Zakładam, że powyższy komentarz jest słuszny (tzn. Suma zawiera ). $2^{n+1}$

Oznaczenia Zauważmy, że , gdy

p_{n} (ρ) = P. ({K.}_{n} > ρ {2)}^{n}) = P. ({K.}_{n} / {2)}^{n} > ρ)

$p_n(\rho)=P(K_n>\rho 2^n)=P(K_n/2^n>\rho )$

p_{n} (ρ_{1}) > p_{n} (ρ_{2})

$p_n(\rho_1)>p_n(\rho_2)$

ρ_{1} < ρ_{2}

$\rho_1 < \rho_2$

Pierwszy punkt: jeśli zapytać, czy takie istnieje dla wszystkich n, trzeba pokazać, że z jakiegoś granica jest dodatnia wtedy, jeśli ma pozytywny limitu, a wszystkie wartości są dodatnie, należy je oddzielić od zera, powiedzmy . Następnie $\rho$ $\delta$

lim_{n \to \infty} p_{n} (δ) > 0

$\lim_{n\rightarrow \infty} p_n(\delta)>0$

p_{n} (δ)

$p_n(\delta)$

p_{n} (δ) > ε

$p_n(\delta)>\varepsilon$

więc masz pożądaną właściwość dla

p_{n} (min (ε, δ)) \geq p_{n} (δ) > ε \geq min (ε, δ)

$p_n(\min(\varepsilon,\delta)) \geq p_n(\delta)>\varepsilon \geq \min(\varepsilon,\delta)$

ρ = min (ε, δ)

$\rho=\min(\varepsilon, \delta)$

Więc po prostu trzeba pokazać limit być dodatnia. $p_n$

Następnie zbadałbym zmienną i jej oczekiwaną wartość $K_n/2^n$

— krzmip
źródło