Co jest takiego „momentem” w „momentach” rozkładu prawdopodobieństwa?

WIEM, jakie są momenty i jak je obliczyć oraz jak korzystać z funkcji generowania momentu w celu uzyskania momentów wyższego rzędu. Tak, znam matematykę.

Teraz, gdy muszę posmarować swoją wiedzę statystyczną do pracy, pomyślałem, że równie dobrze mogę zadać to pytanie - dręczy mnie to od kilku lat i po studiach żaden profesor nie znał odpowiedzi lub po prostu odrzuciłby pytanie (szczerze) .

Co w tym przypadku oznacza słowo „moment”? Skąd ten wybór słowa? Nie brzmi to dla mnie intuicyjnie (bo nigdy nie słyszałem tego w ten sposób na studiach). Pomyśl o tym, jestem równie ciekawy jego użycia w „momencie bezwładności”;), ale na razie nie skupmy się na tym.

Czym więc jest „moment” dystrybucji i co chce zrobić i dlaczego TO słowo! :) Dlaczego ktoś dba o chwile? W tej chwili mam inne zdanie na temat tego momentu;)

PS: Tak, prawdopodobnie zadałem podobne pytanie dotyczące wariancji, ale cenię intuicyjne zrozumienie nad „spójrz do książki, żeby się dowiedzieć” :)

Zgodnie z artykułem „Pierwsze (?) Wystąpienie wspólnych terminów w statystyce matematycznej” autorstwa HA Davida, pierwsze użycie słowa „moment” w tej sytuacji nastąpiło w liście do Natury autorstwa Karla Pearsona z 1893 r. Zatytułowanym „Krzywe częstotliwości asymetrycznej” .

Dokument Biometrika Neymana z 1938 r. „Nota historyczna na temat dedukcji momentów dwumianu Karla Pearsona” stanowi dobre streszczenie tego listu i późniejszych prac Pearsona nad momentami rozkładu dwumianowego i metodą momentów. To naprawdę dobra lektura. Mam nadzieję, że masz dostęp do JSTOR, ponieważ nie mam teraz czasu na dobre podsumowanie artykułu (choć zrobię to w ten weekend). Chociaż wspomnę o jednym kawałku, który może dać wgląd w to, dlaczego użyto terminu „moment”. Z pracy Neymana:

$\alpha$

To ostatecznie doprowadziło do „metody chwil”. Neyman omawia wyprowadzenie Pearsona momentów dwumianowych w powyższym artykule.

I z listu Pearsona:

$s^{\text{th}}$$d = c(1 + nq)$

Wskazuje to na fakt, że Pearson użył terminu „moment” jako aluzji do „momentu bezwładności”, terminu powszechnego w fizyce.

Oto skan większości listu natury Pearsona :

Możesz zobaczyć cały artykuł na stronie 615 tutaj .

Każdy ma chwile na chwile. Miałem moje w Cumulant i nazwy momentów poza wariancją, skośnością i kurtozą i spędziłem trochę czasu czytając ten wspaniały wątek.

Co dziwne, nie znalazłem „wzmianki o momencie” w pracy HA Davida. Więc poszedłem do Karla Pearsona: Życie naukowe w erze statystycznej , książki TM Portera. Oraz Karla Pearsona i Początki współczesnej statystyki: elastycy zostaje statystykiem, na przykład zredagował Historię teorii elastyczności i siły materiałów od Galilei do współczesności .

Jego pochodzenie było bardzo szerokie i był w szczególności profesorem inżynierii i elastyści, który był zaangażowany w określanie momentów zginających przęsło mostu i obliczanie naprężeń na zaporach murowych. W zakresie elastyczności można obserwować tylko to, co się dzieje (zerwanie) w ograniczony sposób. Najwyraźniej był zainteresowany (z książki Portera):

obliczenia graficzne lub, w najbardziej dostojnej i matematycznej formie, statyka graficzna.

Później :

Od początku swojej kariery statystycznej, a nawet wcześniej, dopasowywał krzywe „metodą momentów”. W mechanice oznaczało to dopasowanie skomplikowanego ciała do prostego lub abstrakcyjnego, które miało ten sam środek masy i „promień obrotu” odpowiednio w pierwszym i drugim momencie. Ilości te odpowiadały statystycznie średniej i rozkładowi lub rozłożeniu pomiarów wokół średniej.

A ponieważ:

Pearson zajmował się dyskretnymi przedziałami pomiarowymi, była to raczej suma niż całka

Momenty bezwładności mogą oznaczać podsumowanie ruchomego ciała: obliczenia można przeprowadzić tak, jakby ciało zostało zredukowane do jednego punktu.

Pearson ustanowił te pięć równości jako układ równań, które połączyły się w jeden z dziewiątych stopni. Rozwiązanie numeryczne było możliwe tylko dzięki kolejnym przybliżeniom. Mogło być aż dziewięć rzeczywistych rozwiązań, choć w obecnym przypadku były tylko dwa. Obliczył oba wyniki obok oryginału i ogólnie był zadowolony z wyglądu wyniku. Nie polegał jednak na oględzinach, aby zdecydować między nimi, ale obliczył szósty moment, aby wybrać najlepszy mecz

Wróćmy do fizyki. Moment jest wielkością fizyczną, która bierze pod uwagę lokalny układ własności fizycznej, ogólnie w odniesieniu do określonego porządkowego punktu lub osi (klasycznie w przestrzeni lub czasie). Podsumowuje wielkości fizyczne mierzone w pewnej odległości od odniesienia. Jeśli ilość nie jest skoncentrowana w jednym punkcie, moment jest „uśredniany” w całej przestrzeni, za pomocą całek lub sum.

Najwyraźniej pojęcie momentu można prześledzić do odkrycia zasady działania dźwigni „odkrytej” przez Archimedesa. Jednym z pierwszych znanych zjawisk jest łacińskie słowo „momentorum” o obecnym przyjętym znaczeniu (moment o środku obrotu). W 1565 r. Federico Commandino przetłumaczył pracę Archimedesa (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) jako:

Środkiem ciężkości każdej bryły jest punkt w niej, wokół którego ze wszystkich stron stoją części równego momentu.

lub

Centre gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est punctum illud intra positum, circa quod undique partes aequalium momentorum

Najwyraźniej analogia z fizyką jest dość silna: ze skomplikowanego dyskretnego kształtu fizycznego znajdź wielkości, które wystarczająco go przybliżają, formę kompresji lub parsimony.

Będąc zbyt uproszczonymi momentami statystycznymi są dodatkowe deskryptory krzywej / rozkładu. Znamy pierwsze dwa momenty i są one ogólnie przydatne w przypadku ciągłych rozkładów normalnych lub podobnych krzywych. Jednak te dwa pierwsze momenty tracą wartość informacyjną dla innych dystrybucji. W ten sposób inne momenty dostarczają dodatkowych informacji o kształcie / formie rozkładu.

Pytanie: Więc co w tym przypadku oznacza słowo „moment”? Skąd ten wybór słowa? Nie brzmi to dla mnie intuicyjnie (bo nigdy nie słyszałem tego w ten sposób na studiach). Pomyśl o tym, jestem równie ciekawy jego użycia w „momencie bezwładności”;), ale na razie nie skupmy się na tym.

Odpowiedź: W rzeczywistości, w sensie historycznym, moment bezwładności prawdopodobnie pochodzi od sensu słowa „chwile”. Rzeczywiście, można (jak poniżej) pokazać, w jaki sposób moment bezwładności odnosi się do wariancji. Daje to również fizyczną interpretację wyższych momentów.

W fizyce moment jest wyrażeniem obejmującym iloczyn odległości i wielkości fizycznej, i w ten sposób wyjaśnia, w jaki sposób wielkość fizyczna jest zlokalizowana lub ułożona. Momenty są zwykle definiowane w odniesieniu do stałego punktu odniesienia; dotyczą wielkości fizycznych mierzonych w pewnej odległości od tego punktu odniesienia. Na przykład moment siły działającej na obiekt, często nazywany momentem obrotowym, jest iloczynem siły i odległości od punktu odniesienia, jak w poniższym przykładzie.

$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$

$$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$$ $B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$\Gamma(.)$$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

$z$$x$$x,y$

$$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$\mu=\dfrac{1}{2}$

$0\leq r\leq1$$2\leq r\leq4$

$r$$z$

$$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$$I$

$n^{\text{th}}$

$$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$$ $n^{\text{th}}$

Co jeśli chcemy obliczyć wstecz, to znaczy wziąć bryłę 3D i zamienić ją w funkcję prawdopodobieństwa? Sprawy stają się nieco trudniejsze. Na przykład weźmy torus .

$r$$z$

$I$$\sigma^2$$I=\dfrac{\tau}{a}$$\tau$$a$