Losowy spacer z pędem

Rozważ losową liczbę całkowitą rozpoczynającą się od 0 z następującymi warunkami:

Pierwszy krok to plus lub minus 1, z jednakowym prawdopodobieństwem.
Każdy przyszły krok to: 60% prawdopodobnie będzie w tym samym kierunku co poprzedni krok, 40% prawdopodobnie będzie w przeciwnym kierunku

Jaki rodzaj dystrybucji to daje?

Wiem, że losowy spacer bez pędu daje rozkład normalny. Czy pęd po prostu zmienia wariancję, czy całkowicie zmienia charakter rozkładu?

Szukam ogólnej odpowiedzi, więc o 60% i 40% powyżej, naprawdę mam na myśli p i 1-p

stochastic-processes randomness random-walk

— bariera
źródło

Właściwie @Dilip, trzeba łańcuch Markowa o stanach zaindeksowane przez uporządkowanych par

(i, i + 1)

$(i,i+1)$ i

(i, i - 1)

$(i,i-1)$ ,

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$ . Przejścia to

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$ oraz

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$ z prawdopodobieństwem

p

$p$ oraz

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$ oraz

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$ z prawdopodobieństwem

1 - p

$1-p$ .

— whuber

Zauważ, że rozmiary stopni tworzą łańcuch Markowa na

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$ i zdarza się (?!), że zacząłeś to od dystrybucji stacjonarnej.

— kardynał

Czy chcesz ograniczyć (marginalny) rozkład dla

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$ gdzie

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$ to kroki marszu?

— kardynał

Innym podejściem może być spojrzenie na przemienne sumy geometrycznych zmiennych losowych, a następnie zastosowanie teorii martingale. Problem polega na tym, że musisz zdefiniować jakiś czas zatrzymania, co może być trudne.

— shabbychef

Odpowiedzi:

Aby od razu dojść do konkluzji, „pęd” nie zmienia faktu, że rozkład normalny jest asymptotycznym przybliżeniem rozkładu losowego marszu, ale wariancja zmienia się z na . Można to wywnioskować ze względnie elementarnych rozważań w tym szczególnym przypadku. Powiedzmy, że uogólnienie poniższych argumentów do CLT dla łańcuchów Markowa o skończonej przestrzeni stanów nie jest trudne, ale największym problemem jest w rzeczywistości obliczenie wariancji. W przypadku konkretnego problemu może to zrobić $4np(1-p)$ $np/(1-p)$ być obliczonym, i mam nadzieję, że poniższe argumenty mogą przekonać czytelnika, że jest to poprawna wariancja.

Korzystając z wglądu przedstawionego przez kardynała w komentarzu, losowy spacer podaje się jako gdzie a tworzą łańcuch Markowa z macierzą prawdopodobieństwa przejścia Dla rozważań asymptotycznych, gdy początkowy rozkład nie odgrywa żadnej roli, więc naprawmy

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

ze względu na następujący argument i przyjmijmy również, że

. Zręczną techniką jest rozkład łańcucha Markowa na niezależne cykle. Niech

oznacza po raz pierwszy, po czasie 1, że łańcuch Markowa powraca do 1. To znaczy, jeśli

, a jeśli

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$ . Ogólnie rzecz biorąc, niech

oznacza

-ty czas powrotu do 1, a niech

oznaczają czasy powrotu (z

). Dzięki tym definicjom mamy

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

Przy a następnie $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
Ponieważ przyjmuje wartość dla i przyjmuje, że $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
Czasy między zwrotami , , dla łańcucha Markowa wynoszą iid (formalnie z powodu silnej właściwości Markowa), aw tym przypadku ze średnią i wariancją $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ . Poniżej pokazano, jak obliczyć średnią i wariancję. $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
Zwykły CLT dla zmiennych iid daje $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
Ostatnią rzeczą do odnotowania, która wymaga niewielkiego skoku wiary, ponieważ pomijam szczegóły, jest to, że , co daje $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

Aby obliczyć momenty należy zauważyć, że a dla , . Następnie można zastosować techniki podobne do stosowanych podczas obliczania momentów dla rozkładu geometrycznego. Alternatywnie, jeśli jest geometryczne z prawdopodobieństwem sukcesu a $\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
źródło

+1 nice. I would only have written assymptotic distribution for

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$ , aby wyraźnie pokazać, że CLT stosuje się w zwykły sposób. Ale to tylko kwestia gustu.

— mpiktas

Van Belle's 'Rule of Thumb' 8.7 (from the second edition of his book) includes an approximation for the standard error of the mean when innovations have autocorrelation $\rho$ . Translating this using $\rho = 2p - 1$ gives

True standard error of \bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1 - p}} \frac{s}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$ where

n \bar{x}

$n \bar{x}$ is the position of the random walk after

n

$n$ steps, and

s

$s$ is the sample standard deviation (which will be, asymptotically in

n

$n$ ,

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$ . The upshot is that I expect, as a rough approximation, that the standard deviation of

n \bar{x}

$n \bar{x}$ should be around

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$ .

edit: I had the wrong autocorrelation (or rather $p$ should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)

— shabbychef
źródło

Interesting. I'm not sure that yields anything very sensible for the

p = 0

$p=0$ subcase; though, that could be due to pathologies associated with that case.

— cardinal

@cardinal good catch, the autocorrelation should be

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$ not

1 - 2 p

$1 - 2p$ . correcting it...

— shabbychef