Jaki jest rozkład dla maksimum (minimum) dwóch niezależnych normalnych zmiennych losowych?

Załóżmy konkretnie $X$ i $Y$są normalnymi zmiennymi losowymi (niezależne, ale niekoniecznie identycznie rozmieszczone). Biorąc pod uwagę dowolny$a$, czy istnieje fajna formuła dla $P(\max(X,Y)\leq x)$lub podobne koncepcje? Czy wiemy, że $\max(X,Y)$ jest normalnie rozkładane, może wzór na średnią i odchylenie standardowe w kategoriach tych dla $X$ i $Y$ ? Sprawdziłem zwykłe miejsca (wikipedia, google), ale niczego nie znalazłem.

Maksymalnie dwie nieidentyczne wartości normalne można wyrazić jako rozkład skośny Azzaliniego-rozkład normalny. Zobacz na przykład dokument roboczy / prezentację z 2007 roku autorstwa Balakrishnana

Przekrzywione spojrzenie na dwuwymiarowe i wielowymiarowe statystyki zamówień
Prof. N. Balakrishnan
Dokument roboczy / prezentacja (2007)

Niedawny artykuł autorstwa ( Nadarajah i Kotz - widoczny tutaj ) podaje pewne właściwości max :$(X,Y)$

Nadarajah, S. i Kotz, S. (2008), „Dokładny rozkład maksymalnej / minimalnej liczby dwóch zmiennych losowych Gaussa”, TRANSAKCJE IEEE NA SYSTEMACH BARDZO DUŻYCH SKAL (VLSI), VOL. 16, NIE. 2, LUTY 2008

Wcześniejsze prace patrz:

AP Basu i JK Ghosh, „Identyfikowalność rozkładów wielomianowych i innych w ramach konkurencyjnego modelu ryzyka”, J. Multivariate Anal., Vol. 8, s. 413–429, 1978

HN Nagaraja i NR Mohan, „O niezależności rozkładu życia systemu i przyczynie awarii”, Scandinavian Actuarial J., ss. 188–198, 1982.

YL Tong, wielowymiarowy rozkład normalny. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1990.

Można również użyć komputerowego systemu algebry do automatyzacji obliczeń. Na przykład dla z pdf i z pdf :$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$f(x)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$g(y)$

... pdf to:$Z = max(X,Y)$

gdzie używam Maximumfunkcji z pakietu mathStatica Mathematica i Erfoznacza funkcję błędu.

Dziwi mnie, że w poprzednich odpowiedziach nie wymieniono najciekawszej właściwości: rozkład prawdopodobieństwa skumulowanego dla maksimum jest iloczynem odpowiednich rozkładów prawdopodobieństwa skumulowanego.